《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例2 (1)已知$f'(x)$是定义在$R$上的函数$f(x)$的导函数，且$f(x)-xf'(x)＞0$，则$a=\frac{1}{2}f(2)$，$b=\frac{1}{e}f(e)$，$c=\frac{1}{3}f(3)$的大小关系为 (B)

A.$b＜a＜c$
B.$c＜b＜a$
C.$a＜b＜c$
D.$c＜a＜b$

答案：
(1)B
(1)令$g(x)=\frac{f(x)}{x}(x＞0)$，则$g^{\prime}(x)=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}$，因为$f(x)-xf^{\prime}(x)＞0$，所以$g^{\prime}(x)=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}＜0$，所以$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，因为$0＜2＜e＜3$，所以$g(2)＞g(e)＞g(3)$，所以$\frac{f(2)}{2}＞\frac{f(e)}{e}＞\frac{f(3)}{3}$，所以$c＜b＜a$。故选B。

(2)(2025·四川凉山期末)已知可导函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)$，其导函数$f'(x)$满足$xf'(x)+2f(x)＞0$，则不等式$(x+2025)^{2}· f(x+2025)-f(-1)＜0$的解集为 (A)

A.$(-2026,-2025)$
B.$(-2025,-2024)$
C.$(-\infty,-2025)$
D.$(-\infty,-2024)$
角度3 利用$f(x)$与$\sin x$，$\cos x$构造

答案：
(2)A
(2)令$g(x)=x^{2}f(x)(x＜0)$，则$g^{\prime}(x)=x[xf^{\prime}(x)+2f(x)]＜0$，故$g(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，不等式$(x+2025)^{2}· f(x+2025)-f(-1)＜0$可变形为$(x+2025)^{2}· f(x+2025)＜(-1)^{2}· f(-1)$，即$g(x+2025)＜g(-1)$，所以$x+2025＞-1$且$x+2025＜0$，解得$-2026＜x＜-2025$。故选A。

典例3 (1)定义在$(0,\frac{\pi}{2})$上的函数$f(x)$，已知$f'(x)$是它的导函数，且恒有$\cos x· f'(x)+\sin x· f(x)＜0$成立，则有 (C)

A.$f(\frac{\pi}{6})＞\sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})$
B.$\sqrt{3}f(\frac{\pi}{6})＞f(\frac{\pi}{3})$
C.$f(\frac{\pi}{6})＞\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})$
D.$\sqrt{2}f(\frac{\pi}{6})＜\sqrt{3}f(\frac{\pi}{4})$

答案：
(1)C
(1)令$g(x)=\frac{f(x)}{\cos x},x\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$g^{\prime}(x)=\frac{\cos x· f^{\prime}(x)+\sin x· f(x)}{\cos^{2}x}$，因为$\cos x· f^{\prime}(x)+\sin x· f(x)＜0$，所以$g^{\prime}(x)＜0$，则$g(x)=\frac{f(x)}{\cos x}$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，所以$\frac{f(\frac{\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{3}}＜\frac{f(\frac{\pi}{4})}{\cos\frac{\pi}{4}}＜\frac{f(\frac{\pi}{6})}{\cos\frac{\pi}{6}}$，即$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$\sqrt{2}f(\frac{\pi}{6})＞\sqrt{3}f(\frac{\pi}{4}),f(\frac{\pi}{6})＞\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})$。故选C。

(2)已知$f'(x)$是奇函数$f(x)$的导函数，且当$x\in(0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi)$时，$f(x)+f'(x)\tan x＞0$，则 (A)

A.$\sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})+f(-\frac{\pi}{6})＞0$
B.$\sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})-\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})＞0$
C.$\sqrt{2}f(\frac{3\pi}{4})+f(-\frac{\pi}{6})＞0$
D.$\sqrt{2}f(\frac{3\pi}{4})-\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})＞0$

答案：
(2)A
(2)令$g(x)=f(x)\sin x$，则$g^{\prime}(x)=f(x)\cos x+f^{\prime}(x)\sin x$，当$0＜x＜\frac{\pi}{2}$时，$\cos x＞0$，则由$f(x)+f^{\prime}(x)\tan x＞0$，得$f(x)\cos x+f^{\prime}(x)\sin x＞0$；当$\frac{\pi}{2}＜x＜\pi$时，$\cos x＜0$，则由$f(x)+f^{\prime}(x)\tan x＞0$，得$f(x)\cos x+f^{\prime(x)}\sin x＜0$，故$g(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增，在$(\frac{\pi}{2},\pi)$上单调递减。又$f(x)$是奇函数，所以$g(x)=f(x)\sin x$是偶函数，故$g(\frac{\pi}{4})＞g(\frac{\pi}{6})=g(-\frac{\pi}{6})$，即$\sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})+f(-\frac{\pi}{6})＞0,g(\frac{\pi}{4})＜g(\frac{\pi}{3})$，即$\sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})-\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})＜0.g(\frac{3\pi}{4})$与$g(\frac{\pi}{6})$和$g(\frac{\pi}{3})$的大小关系不确定。故选A。

对点练1. (1)(2025·山东潍坊期中)设函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，$f'(x)$为其导函数.当$x＞0$时，$xf'(x)-f(x)＞0$，$f(1)=0$，则不等式$f(x)＞0$的解集为 (D)

A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
B.$(-\infty,-1)\cup(0,1)$
C.$(-1,0)\cup(0,1)$
D.$(-1,0)\cup(1,+\infty)$

答案：
(1)D
(1)当$x＞0$时，令$F(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$F^{\prime}(x)=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}＞0$，所以$F(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，当$0＜x＜1$时，$F(x)=\frac{f(x)}{x}＜F(1)=f(1)=0$，即$f(x)＜0$，当$x＞1$时，$F(x)=\frac{f(x)}{x}＞F(1)=f(1)=0$，即$f(x)＞0$，因为函数$f(x)$是定义在R上的奇函数，所以$f(0)=0,f(-1)=-f(1)=0=f(1)$，所以当$x＜-1$时，$f(x)=-f(-x)＜0$，当$-1＜x＜0$时，$f(x)=-f(-x)＞0$，所以不等式$f(x)＞0$的解集为$(-1,0)\cup(1,+\infty)$。故选D。

(2)(2025·江西南昌模拟)已知函数$f(x)$的定义域为$R$，且$f(2)=-1$，对任意$x\in R$，$f(x)+xf'(x)＜0$，则不等式$(x+1)f(x+1)＞-2$的解集是 (A)

A.$(-\infty,1)$
B.$(-\infty,2)$
C.$(1,+\infty)$
D.$(2,+\infty)$

答案：
(2)A
(2)设$g(x)=xf(x)$，则$g(2)=2f(2)=-2$，因为对任意$x\in R,f(x)+xf^{\prime}(x)＜0$，所以$g^{\prime}(x)=f(x)+xf^{\prime}(x)＜0$恒成立，即$g(x)$在R上单调递减，由$(x+1)f(x+1)＞-2$可得$g(x+1)＞g(2)$，所以$x+1＜2$，解得$x＜1$，即解集为$(-\infty,1)$。故选A。

(3)(多选题)(2025·江西萍乡模拟)奇函数$f(x)$满足对于任意$x\in(0,\frac{\pi}{2}]$，有$f'(x)\sin x+f(x)\cos x＞0$，其中$f'(x)$为$f(x)$的导函数，则下列不等式成立的是 (ABC)

A.$-\sqrt{3}f(-\frac{\pi}{3})＜2f(\frac{\pi}{2})$
B.$\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})＞f(\frac{\pi}{6})$
C.$\sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})＞-f(-\frac{\pi}{6})$
D.$-\sqrt{2}f(-\frac{\pi}{4})＞2f(\frac{\pi}{2})$

答案：
(3)ABC
(3)设$g(x)=f(x)\sin x,g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)\sin x+f(x)\cos x$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2}]$时，$g^{\prime}(x)＞0$，所以函数$g(x)$在$x\in(0,\frac{\pi}{2}]$上单调递增，且$g(-x)=f(-x)\sin(-x)=f(x)\sin x=g(x)$，所以函数$g(x)$是偶函数，则$g(-\frac{\pi}{3})=g(\frac{\pi}{3})＜g(\frac{\pi}{2})$，即$f(-\frac{\pi}{3})\sin(-\frac{\pi}{3})＜f(\frac{\pi}{2})\sin\frac{\pi}{2}$，所以$-\sqrt{3}f(-\frac{\pi}{3})＜2f(\frac{\pi}{2})$。故A正确；$g(\frac{\pi}{3})＞g(\frac{\pi}{6})$，即$f(\frac{\pi}{3})\sin\frac{\pi}{3}＞f(\frac{\pi}{6})\sin\frac{\pi}{6}$，所以$\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})＞f(\frac{\pi}{6})$。故B正确；$g(-\frac{\pi}{6})=g(\frac{\pi}{6})＜g(\frac{\pi}{4})$，即$f(-\frac{\pi}{6})\sin(-\frac{\pi}{6})＜f(\frac{\pi}{4})\sin\frac{\pi}{4}$，所以$-\frac{1}{2}f(-\frac{\pi}{6})＜\frac{\sqrt{2}}{2}f(\frac{\pi}{4})$，故C正确；$g(-\frac{\pi}{4})=g(\frac{\pi}{4})＜g(\frac{\pi}{2})$，即$f(-\frac{\pi}{4})\sin(-\frac{\pi}{4})＜f(\frac{\pi}{2})\sin\frac{\pi}{2}$，所以$-\sqrt{2}f(-\frac{\pi}{4})＜2f(\frac{\pi}{2})$，故D错误。故选ABC。