《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (2025·山东济南模拟)如图所示，$AB$是半圆$O$的直径，点$P$从点$O$出发，沿$OA \to$弧$AB \to BO$的路径运动一周，设点$P$到点$O$的距离为$s$，运动时间为$t$，则下列图象能大致地刻画$s$与$t$之间的关系的是(C)



A.
B.
C.
D.

答案： C 当点P在OA段运动时，s随t的增大而增大，点P在弧AB上运动时，$s = OP = \frac{1}{2}AB$(定值)，点P在BO上运动时，s随着t的增大而减小.故选C.

2. (2025·浙江杭州模拟)有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是(B)


A.$y = \sqrt{x}$
B.$y = \frac{1}{3} · 2^x$
C.$y = \log_2 x$
D.$y = 2x - 3$

答案： B 设$y = f(x)$，由题知$f(3) - f(2) = 1.16$，$f(4) - f(3) = 2.75$，$f(5) - f(4) = 5.69$，$f(6) - f(5) = 10.3$，通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、C选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确.故选B.

3. (多选题)(2025·广东佛山期末)在声学中，音量被定义为$L_p = 20\lg \frac{p}{p_0}$，其中$L_p$是音量(单位为$dB$)，$p_0$是基准声压，为$2 × 10^{-5} Pa$，$p$是实际声压. 人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值. 经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中$240 Hz$对应的听觉下限阈值为$20 dB$，$1000 Hz$对应的听觉下限阈值为$0 dB$，则下列结论正确的是(AD)


A.音量同为$20 dB$的声音，$1000 \sim 10000 Hz$的高频比$30 \sim 100 Hz$的低频更容易被人们听到
B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C.$240 Hz$的听觉下限阈值的实际声压为$0.002 Pa$
D.$240 Hz$的听觉下限阈值的实际声压为$1000 Hz$的听觉下限阈值的实际声压的$10$倍

答案： AD 对于A，$30 \sim 100\ Hz$的低频对应的听觉下限阈值高于$20\ dB$，$1000 \sim 10000\ Hz$的高频对应的听觉下限阈值低于$20\ dB$，所以对比高频更容易被听到，故A正确；对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，$240\ Hz$对应的听觉下限阈值为$20\ dB$，$p_0 = 2 × 10^{-5}\ Pa$，令$L_p = 20 \lg \frac{p}{p_0} = 20$，此时$p = 10p_0 = 0.0002\ Pa$，故C错误；对于D，$1000\ Hz$对应的听觉下限阈值为$0\ dB$，令$L_p = 20 \lg \frac{p}{p_0} = 0$，此时$p = p_0$，所以$240\ Hz$的听觉下限阈值的实际声压为$1000\ Hz$的听觉下限阈值的实际声压的10倍，故D正确.故选AD.

典例 1 (1)(2025·北京朝阳模拟)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力$f$满足公式$f = \frac{1}{2}\rho CSv^2$，其中$\rho$是空气密度，$S$是该飞行器的迎风面积，$v$是该飞行器相对于空气的速度，$C$是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率$P = fv$. 当$\rho$，$S$不变，$v$比原来提高$10\%$时，下列说法正确的是(C)

A.若$C$不变，则$P$比原来提高不超过$30\%$
B.若$C$不变，则$P$比原来提高超过$40\%$
C.为使$P$不变，则$C$比原来降低不超过$30\%$
D.为使$P$不变，则$C$比原来降低超过$40\%$

答案： C
(1)由题意，$f = \frac{1}{2} \rho C S v^2$，$P = fv$，所以$P = \frac{1}{2} \rho C S v^3$，$C = \frac{2P}{\rho S v^3}$.对于A，当$\rho,S,C$不变，$v$比原来提高$10\%$时，则$P_1 = \frac{1}{2} \rho C S (1 + 10\%)^3 v^3 = \frac{1}{2} \rho C S (1.1)^3 v^3 = 1.331 · \frac{1}{2} \rho C S v^3$，所以P比原来提高超过$30\%$，故A错误；对于B，由A的分析知，$P_1 = 1.331 · \frac{1}{2} \rho C S v^3$，所以P比原来提高不超过$40\%$，故B错误；对于C，当$\rho,S,P$不变，$v$比原来提高$10\%$时，$C_1 = \frac{2P}{1.1^3 \rho S v^3} = \frac{2P}{1.331 \rho S v^3} \approx 0.75 · \frac{2P}{\rho S v^3}$，所以C比原来降低不超过$30\%$，故C正确；对于D，由选项C的分析知，C比原来降低不超过$30\%$，故D错误.故选C.

(2)(2025·广东茂名模拟)Gompertz 曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：$f(x) = ka^{b^{-x}}$(其中$k ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a$为参数). 某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现$a = e$. 若$x = 1$表示该新产品今年的年产量，估计明年$(x = 2)$的产量将是今年的$e$倍，那么$b$的值为($e$为自然对数的底数)(A)

A.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
C.$\sqrt{5} - 1$
D.$\sqrt{5} + 1$

答案： A
(2)由$a = e$，得到$f(x) = k · e^{b^x}$，因为当$x = 1$时，$f(1) = k · e^{-b}$；当$x = 2$时，$f(2) = k e^b$.依题意，明年($x = 2$)的产量将是今年的e倍，得$\frac{k e^b}{k e^{-b}} = e^{b - (-b)} = e$，所以$\frac{1}{e^b} - \frac{1}{b^2} = 1$，即$b^2 + b - 1 = 0$，解得$b = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.因为$b ＞ 0$，所以$b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.故选A.