《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)若曲线 $ y = f(x) $ 在 $ x = -1 $ 处的切线与 $ y $ 轴垂直，求 $ y = f(x) $ 的极值；

答案： 答案略

(2)若 $ f(x) $ 在 $ (0,+\infty) $ 只有一个零点，求 $ a $.

答案：

(2)函数f(x)=x(e^{x}-ax^{2})在(0,+∞)只有一个零点，等价于y = e^{x}-ax^{2}在(0,+∞)只有一个零点，
设g(x)=e^{x}-ax^{2}，则函数g(x)在(0,+∞)只有一个零点，
当且仅当g(x)=0在(0,+∞)只有一解，
即a=\frac{e^{x}}{x^{2}}在(0,+∞)只有一解，
所以曲线y=\frac{e^{x}}{x^{2}}(x ＞ 0)与直线y = a只有一个公共点，
令$\varphi(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}(x＞0)$，则$\varphi'(x)=\frac{e^{x}(x - 2)}{x^{3}}$，当0 ＜ x ＜ 2时，$\varphi'(x) ＜ 0$，当x ＞ 2时，$\varphi'(x)＞0$，
因此函数$\varphi(x)$在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
函数$\varphi(x)$在x = 2处取得极小值同时也是最小值$\varphi(2)=\frac{e^{2}}{4}$，
当x→0时，$\varphi(x)→+∞$；当x→+∞时，$\varphi(x)→+∞$，
画出$\varphi(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}$大致的图象，如图,

g(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a = $\varphi(2)=\frac{e^{2}}{4}$，
所以f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a = $\frac{e^{2}}{4}$。

(1)当 $ a = 1 $ 时，求 $ f(x) $ 的最大值；

答案： 答案略

(2)讨论函数 $ f(x) $ 在区间 $ [1,\mathrm{e}^{2}] $ 上零点的个数.

答案：

(2)由f(x)=0，得$a=\frac{2\ln x}{x^{2}}，$令$g(x)=\frac{2\ln x}{x^{2}}，$则$g'(x)=\frac{2 - 4\ln x}{x^{3}}，$
由g'(x)＞0得$1 ＜ x ＜ \sqrt{e}，$由g'(x)＜0，得$\sqrt{e}＜x＜e^{2}，$
g(x)在区间$[1,\sqrt{e}]$上单调递增，在区间$[\sqrt{e},e^{2}]$上单调递减，
又g
(1)=0，$g(\sqrt{e})=\frac{1}{e}，$$g(e^{2})=\frac{4}{e^{2}}，$作
函数g(x)的图象如图:

综上，当0≤a＜\frac{4}{e^{2}}或$a=\frac{1}{e}$时，f(x)在$[1,e^{2}]$上有1个零点，
当$\frac{4}{e^{2}}≤a$＜\frac{1}{e}时，f(x)在[1,e^{2}]上有2个零点，当a ＜ 0或a＞$\frac{1}{e}$时，f(x)在$[1,e^{2}]$上没有零点。

(1)当 $ a = 0 $ 时，求函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的切线方程；

答案： 答案略

(2)若函数 $ f(x) $ 至多有一个零点，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案：
(2)由函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
又由$f(x)=e^{x}-\ln x + x^{2}-ax=0，$分离参变量得$a=\frac{e^{x}}{x}-\frac{\ln x}{x}+x，$
令$g(x)=\frac{e^{x}}{x}-\frac{\ln x}{x}+x，$因为$g'(x)=\frac{(x - 1)e^{x}}{x^{2}}-\frac{1 - \ln x}{x^{2}}+1=\frac{(x - 1)e^{x}+\ln x+x^{2}-1}{x^{2}}，$
令$h(x)=(x - 1)e^{x}+\ln x+x^{2}-1，$$h'(x)=xe^{x}+\frac{1}{x}+2x≥0，$
所以h(x)在(0,+∞)单调递增，又因为h
(1)=0，
所以在(0,1)上g'(x)＜0，在(1,+∞)上g'(x)＞0，
所以g(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
所以$g(x)_{min}=g(1)=e + 1，$
又因为x→0时g(x)→+∞，x→+∞时g(x)→+∞，
所以实数a的取值范围为(-∞,e + 1]。