《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(多选题)(2025·河南新乡模拟)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $ t $ s 时相对于平衡位置的高度 $ h $(单位：cm)由关系式 $ h = A\sin(\omega t + \varphi),t \in [0,+\infty) $ 确定，其中 $ A ＞ 0,\omega ＞ 0,\varphi \in (0,\pi] $. 小球从最高点出发，经过 2 s 后，第一次回到最高点，则(BC)


A.$ \varphi = \frac{\pi}{4} $
B.$ \omega = \pi $
C.$ t = 3.75 $ s 与 $ t = 10 $ s 时的相对于平衡位置的高度 $ h $ 之比为 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ t = 3.75 $ s 与 $ t = 10 $ s 时的相对于平衡位置的高度 $ h $ 之比为 $ \frac{1}{2} $

答案： BC 对于A、B，由题可知小球运动的周期$T = 2s$，又$\omega＞0$，所以$\omega=\pi$，当$t = 0s$时，$A\sin\varphi=A$，又$\varphi\in(0,\pi]$，所以$\varphi=\frac{\pi}{2}$，故A错误，B正确；对于C、D，则$h=A\sin(\omega t+\frac{\pi}{2})=A\cos\omega t$，所以$t = 3.75s$与$t = 10s$时的相对于平衡位置的高度之比为$\frac{A\cos(\pi×3.75)}{A\cos(\pi×10)}=\frac{\cos\frac{15\pi}{4}}{\cos10\pi}=\cos(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$。故C正确，D错误。故选BC。

(1)(多选题)已知函数 $ f(x) = \cos(\omega x + \varphi)\left(\omega ＞ 0,-\frac{\pi}{2} ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2}\right) $，将 $ y = f(x) $ 的图象上所有点向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度，然后横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 $ y = g(x) $ 的图象. 若 $ g(x) $ 为奇函数，且最小正周期为 $ \pi $，则下列说法正确的是(ACD)

A.函数 $ f(x) $ 的图象关于点 $ \left(\frac{\pi}{6},0\right) $ 中心对称
B.函数 $ f(x) $ 在区间 $ \left(0,\frac{\pi}{4}\right) $ 上单调递减
C.不等式 $ g(x) \geqslant \frac{1}{2} $ 的解集为 $ \left[k\pi - \frac{5\pi}{12},k\pi - \frac{\pi}{12}\right](k \in \mathbf{Z}) $
D.方程 $ f\left(\frac{x}{2}\right) = g(x) $ 在 $ (0,\pi) $ 上有 2 个解

答案：

(1)ACD
(1)根据题意可得$g(x)=\cos(\frac{\omega}{2}x+\varphi-\frac{\omega}{3}\pi)$，因为$g(x)$的最小正周期为$\pi$，所以$\frac{2\pi}{\frac{\omega}{2}}=\pi$，因为$\omega＞0$，所以$\omega = 4$，即$g(x)=\cos(2x+\varphi-\frac{4\pi}{3})$，又$g(x)$为奇函数，所以$\varphi-\frac{4\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$，解得$\varphi=\frac{11\pi}{6}+k\pi,k\in Z$，又$-\frac{\pi}{2}＜\varphi＜\frac{\pi}{2}$，所以当$k = -2$时，$\varphi=-\frac{\pi}{6}$，所以$g(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{6}-\frac{4\pi}{3})=-\sin2x,f(x)=\cos(4x-\frac{\pi}{6})$。对于A，当$x=\frac{\pi}{6}$时，$f(\frac{\pi}{6})=\cos(4×\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6})=0$，所以点$(\frac{\pi}{6},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心，故A正确；对于B，令$2k\pi\leq4x-\frac{\pi}{6}\leq\pi+2k\pi,k\in Z$，解得$\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\leq x\leq\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2},k\in Z$，易知$(0,\frac{\pi}{4})$不是$[\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2},\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}],k\in Z$的子集，故B错误；对于C，$g(x)\geq\frac{1}{2}$，即$-\sin2x\geq\frac{1}{2}$，得$\sin2x\leq-\frac{1}{2}$，则$-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\leq2x\leq-\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in Z$，解得$k\pi-\frac{5\pi}{12}\leq x\leq k\pi-\frac{\pi}{12},k\in Z$，故C正确；对于D，在同一直角坐标系中

分别画出$y_1=f(\frac{x}{2})=\cos(2x-\frac{\pi}{6})$与$y_2=g(x)=-\sin2x$在$[0,\pi]$上的图象，如图所示，通过图象可知，两函数图象在$(0,\pi)$上共有2个交点，故D正确，故选ACD。

(2)(多选题)(2025·江苏常州期末)对某城市进行气象调查，发现从当天上午 9：00 开始计时的连续 24 小时中，温度 $ \theta $(单位：$ ° C $)与时间 $ t $(单位：h)近似地满足函数关系 $ \theta = f(t) = A\sin \omega t + B\left(A ＞ 0,B ＞ 0,0 ＜ \omega ＜ \frac{1}{2}\right) $，其中 $ 0 \leqslant t \leqslant 24 $. 已知当天开始计时($ t = 0 $)时的温度为 $ 25 ° C $，第二天凌晨 3：00 时温度最低为 $ 19 ° C $，则(ABD)

A.$ \omega = \frac{\pi}{12} $
B.当天下午 3：00 温度最高
C.温度为 $ 28 ° C $ 是当天晚上 7：00
D.从当天晚上 23：00 到第二天清晨 5：00 温度都不高于 $ 22 ° C $

答案：
(2)ABD
(2)$t = 0$时，$\theta = 25^{\circ}C$，所以$B = 25^{\circ}C$，第二天凌晨$3:00$时温度最低为$-A + 25 = 19$，$18\omega=\frac{3}{2}\pi+2k\pi,k\in Z$，所以$\begin{cases}-A + 25 = 19\\18\omega=\frac{3}{2}\pi+2k\pi\end{cases}$，解得$\begin{cases}A = 6\\\omega=\frac{\pi}{12}\end{cases}$，故A正确；$f(t)=6\sin\frac{\pi}{12}t+25$，令$\frac{\pi}{12}t=\frac{\pi}{2}$即$t = 6$时$f(t)$取最大值，$t = 6$对应下午$3:00$，故B正确；$f(t)=28$时，$t = 2$或$t = 10$，即当天上午$11:00$或晚上$7:00$，故C错误；$14\leq t\leq20$时，$19\leq f(t)\leq22$，故D正确，故选ABD。

[真题再现] (2024·新课标Ⅰ卷)当 $ x \in [0,2\pi] $ 时，曲线 $ y = \sin x $ 与 $ y = 2\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) $ 的交点个数为(C)

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 8 $

答案：
C 因为函数$y = 2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{3}$，所以函数$y = 2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$在$[0,2\pi]$上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数$y = 2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$与$y=\sin x$在$[0,2\pi]$上的图象如图所示，

由图可知，这两个图象共有6个交点。故选C。