《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 2 (多选题) 函数 y = f(x) 由关系式 x|x| + y|y| = 1 确定，则下列说法正确的是 (ACD)

A.函数 f(x) 的零点为 1
B.函数的定义域和值域均为 [-1, 1]
C.函数 y = f(x) 的图象是轴对称图形
D.若 g(x) = f(x) + x，则 g(x) 在定义域内满足 g(x) ＞ 0 恒成立

答案：
典例2 ACD 因为函数$y=f(x)$由关系式$x\left|x\right|+y\left|y\right|=1$确定,所以$y=f(x)=\begin{cases} -\sqrt{x^{2}-1},x\geqslant1\\ \sqrt{1 - x^{2}},0\leqslant x＜1\\ \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+1},x＜0 \end{cases}$ $y=f(x)$的图象如图所示,由图象可知，函数$f(x)$的零点为1.故A正确;由图象可知,函数的定义域和值域均为$\mathbf{R}$,故B错误;因为对于$x\left|x\right|+y\left|y\right|=1$,$x$与$y$互换后得到$y\left|x\right|+x\left|y\right|=1$,与原式子相同,所以$y=f(x)$的图象关于直线$y=x$对称,所以函数$y=f(x)$的图象是轴对称图形,故C正确;由图象可知，$y=f(x)$的图象恒在直线$y=-x$的上方,所以$g(x)=f(x)+x$在定义域内满足$g(x)＞0$恒成立,故D正确.故选ACD.

{
x + $\frac{1}{2}$, x ∈ [0, $\frac{3}{2}$),
2- f(x - $\frac{3}{2}$), x ∈ [$\frac{3}{2}$, +∞)
}
则 f(x) ＞ |log₂x| 的解集是 (C)

A.($\frac{1}{2}$, 1)
B.(1, 2)
C.($\frac{1}{2}$, 2)
D.($\frac{1}{2}$, 1) ∪ (1, 2)

答案：
典例3 C 根据题意,当$x\in[\frac{3}{2},3)$时,$f(x)=2-(x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2})=3 - x$,当$x\in[3,\frac{9}{2})$时,$f(x)=2-[2 - f(x - 3)]=f(x - 3)=x-\frac{9}{2}$,作出函数$f(x)=\begin{cases} x+\frac{1}{2},x\in[0,\frac{3}{2})\\ 2 - f(x-\frac{3}{2}),x\in[\frac{3}{2},+\infty) \end{cases}$的部分图象如图,在同一坐标系中作出函数$y=\left|\log_{2}x\right|$的图象,由图象可得不等式$f(x)＞\left|\log_{2}x\right|$的解集为$(\frac{1}{2},2)$.故选C.

{
x² - 2, x ≤ 0,
3x - 2, x ＞ 0
}
若 |f(x)| ≥ ax 在 x ∈ [-1, 1] 时恒成立，则实数 a 的取值范围是 (C)

A.(-∞, -1] ∪ [0, +∞)
B.[0, 1]
C.[-1, 0]
D.(-1, 0)

答案：
典例4 C 作出函数$y=\left|f(x)\right|$在$[-1,1]$上的图象与直线$y=ax$,如图所示,因为$\left|f(x)\right|\geqslant ax$在$x\in[-1,1]$时恒成立,所以在$x\in[-1,1]$时,$y=\left|f(x)\right|$的图象恒在直线$y=ax$的上方(可以部分点重合),又$\left|f(-1)\right|=\left|1 - 2\right|=1$,令$3x - 2 = 0$,解得$x=\frac{2}{3}$,所以$A(-1,1)$,$B(\frac{2}{3},0)$.根据图象可知,当$y=ax$经过点$A(-1,1)$时,$a$有最小值,$a_{\min}=-1$;当$y=ax$经过点$B(\frac{2}{3},0)$时,$a$有最大值,$a_{\max}=0$.综上可知,实数$a$的取值范围是$[-1,0]$.故选C.

(1) (多选题) 某学习小组在研究函数 f(x) = $\frac{1}{|x| - 2}$ 的性质时，得出了如下结论，其中正确的结论是 (BCD)

A.函数 f(x) 的图象关于点 (2, 0) 中心对称
B.函数 f(x) 在 (-2, 0) 上单调递增
C.函数 f(x) 在 [0, 2) 上的最大值为 -$\frac{1}{2}$
D.方程 f(x) - x = 0 有 2 个不同实根

答案：
对点练2.
(1)BCD 由$y=\frac{1}{x}\rightarrow y=\frac{1}{x - 2}\rightarrow y=\frac{1}{\left|x\right|-2}$的路线,结合图象变换规则,可得$y=f(x)$大致图象如图.由函数$f(x)$是偶函数及图象知,函数$f(x)$的图象不关于点$(2,0)$中心对称，故A错误;由图象知,函数$f(x)$在$(-2,0)$上单调递增,故B正确;由图知，函数$f(x)$在$[0,2)$上单调递减,因此$x\in[0,2)$时,$f(x)_{\max}=f(0)=-\frac{1}{2}$,故C正确;当$x＜0$时,$f(x)=\frac{1}{-x - 2}$,令$\frac{1}{-x - 2}=x$,得$x^{2}+2x + 1 = 0$,得$x=-1$.且由图象知,当$x＞0$时,$y=x$与$y=f(x)$有一个交点,即方程$f(x)-x=0$有2个不同实根,故D正确.故选BCD.

(2) (2025·江苏南通调研) 已知函数 y = f(x) 是定义域为 R的奇函数，当 x ∈ (0, 3) ∪ (3, +∞) 时，f(-x) ＞ 2f(x)，f(3) = 0，则不等式 f(x) ＞ 0 的解集为.
(3) 设函数 f(x) =
{
x + $\frac{1}{x}$, x ＞ 0,
x - $\frac{1}{x}$, x ＜ 0
}
则满足条件“方程 f(x) = a 有三个实数解”的实数 a 的取值范围为.(2,+∞)

答案：

(2)依题意知,$f(0)=0$,当$x\in(0,3)\cup(3,+\infty)$时,$f(-x)＞2f(x)$,即$-f(x)＞2f(x)$,得$f(x)＜0$,由$f(3)=0$,得$f(-3)=-f(3)=0$,由此画出函数$f(x)$的大致图象如图所示,由图可知,不等式$f(x)＞0$的解集为$(-\infty,-3)\cup(-3,0)$.
(3)由于函数$y=x+\frac{1}{x}(x＞0)$为对勾函数,且$y=x+\frac{1}{x}\geqslant2$,当且仅当$x = 1$时取等号,函数$y=x-\frac{1}{x}(x＜0)$为单调递增函数，且$x=-1$时,$y = 0$,作出函数$f(x)$的图象如图所示,由图象可知，要使方程$f(x)=a$有三个实数解,则需$a＞2$,即实数$a$的取值范围为$(2,+\infty)$.