《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 4 (2025·河北唐山期末) 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}x^3 - 4x + 4$ 在 $[0,a]$ 上的最大值为 $4$，则实数 $a$ 的取值范围为 (D)

A.$(0,1]$
B.$(0,\sqrt{3}]$
C.$(0,2]$
D.$(0,2\sqrt{3}]$

答案： 由题意知$f^\prime(x)=x^2 - 4，$令$f^\prime(x)=0，$得x=-2或x=2，在(-∞,-2)和(2,+∞)上$f^\prime(x)＞0，$所以f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)单调递增，在(-2,2)上$f^\prime(x)$＜0，所以f(x)在(-2,2)单调递减，令f(x)=4求得x=-2\sqrt{3}，x=0或x=2\sqrt{3}，又因为f(x)=\frac{1}{3}x^3 - 4x + 4在[0,a]上的最大值为4，故舍去x=-2\sqrt{3}，又f(x)在[0,2)上单调递减，所以在[0,2)上f(x)_{max}=f
(0)=4，f(x)在(2,+∞)单调递增，所以当x＞$2\sqrt{3}$时，f(x)＞4，所以a的取值范围为$(0,2\sqrt{3}].$故选D.

(1) 函数 $f(x)=x\sin x + \cos x$ 在区间 $[0,\frac{3\pi}{2}]$ 上的最小值为 (A)
A. $-\frac{3\pi}{2}$
B. $0$
C. $-\frac{7\pi}{4}$
D. $-\frac{3\pi}{4}$
(2) (2025·安徽蚌埠模拟) 若函数 $f(x)=-4x^3 + 3x$ 在 $(a,a + 2)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是(-5/2,-1].

答案： $(1)A (2)(-\frac{5}{2},-1] (1)$由题意知$f^\prime(x)=\sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x，$所以$x∈(0,\frac{π}{2})$时，$f^\prime(x)＞0，$当$x∈(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})$时，$f^\prime(x)＜0，$所以f(x)在$(0,\frac{π}{2})$上单调递增，在$(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})$上单调递减.又f
(0)=1，$f(\frac{3π}{2})=-\frac{3π}{2}，$所以$f(x)_{min}=f(\frac{3π}{2})=-\frac{3π}{2}.$故选A.
(2)因为$f(x)=-4x^3 + 3x，$所以$f^\prime(x)=-12x^2 + 3，$令$f^\prime(x)=0，$得$x=±\frac{1}{2}，$当$x∈(-∞,-\frac{1}{2})$时，$f^\prime(x)$＜0，f(x)单调递减，当x∈(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})时，f^\prime(x)＞0，f(x)单调递增，当$x∈(\frac{1}{2},+∞)$时，$f^\prime(x)＜0，$f(x)单调递减，所以当$x=-\frac{1}{2}$时，f(x)有极小值，因为函数$f(x)=-4x^3 + 3x$在(a,a + 2)上存在最小值，又$f(1)=f(-\frac{1}{2})=-1，$所以a＜-\frac{1}{2}＜a + 2≤1，解得$-\frac{5}{2}＜a≤-1，$所以实数a的取值范围是$(-\frac{5}{2},-1].$

[真题再现] (2024·全国甲卷) 曲线 $y = x^3 - 3x$ 与 $y = -(x - 1)^2 + a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则实数 $a$ 的取值范围为(-2,1).

答案： (-2,1) 令$x^3 - 3x=-(x - 1)^2 + a，$则$a=x^3 - 3x + (x - 1)^2，$设$h(x)=x^3 - 3x + (x - 1)^2，$则$h^\prime(x)=3x^2 - 3 + 2(x - 1)=(3x + 5)(x - 1)，$因为x＞0，所以3x + 5＞0，当0＜x＜1时，h^\prime(x)＜0，当x＞1时，$h^\prime(x)＞0，$所以h(x)在(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减.因为曲线$y=x^3 - 3x$与$y=-(x - 1)^2 + a$在(0,+∞)上有两个不同的交点，h
(0)=1，h
(1)=-2，所以实数a的取值范围为(-2,1).

角度 2 $b\mathrm{e}^b$ 与 $x\ln x$ 同构

答案： 答题（如下是答题卡内容）：
设 $f(x) = x\ln x$，$g(b) = b\mathrm{e}^b$，且设 $f(x) = t$，$g(b) = t$。
由于 $f(x) = x\ln x$，其导数为 $f'(x) = 1 + \ln x$。
当 $x ＞ \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f'(x) ＞ 0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
当 $0 ＜ x ＜ \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f'(x) ＜ 0$，函数 $f(x)$ 单调递减。
同理，$g(b) = b\mathrm{e}^b$，其导数为 $g'(b) = (b + 1)\mathrm{e}^b$。
当 $b ＞ -1$ 时，$g'(b) ＞ 0$，函数 $g(b)$ 单调递增；
当 $b ＜ -1$ 时，$g'(b) ＜ 0$，函数 $g(b)$ 单调递减。
若 $f(x) = g(b)$，即 $x\ln x = b\mathrm{e}^b$，则可通过比较 $x$ 和 $b$ 的值或利用函数性质进一步求解。
（由于题目未给出具体方程或不等式，此处仅为同构的一般形式）
最终结论依赖于具体方程或不等式形式。

典例 2(2025·江苏南京模拟)设 $a$，$b$ 都为正数，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数，若 $a\mathrm{e}^a ＜ b\ln b$，则(B)

A.$ab＞\mathrm{e}$
B.$b＞\mathrm{e}^a$
C.$ab＜\mathrm{e}$
D.$b＜\mathrm{e}^a$

答案： B 由$ae^{a} ＜ b\ln b$，得$e^{a}\ln e^{a} ＜ b\ln b$。设$f(x)=x\ln x(x＞0)$，因为$a＞0$，则$e^{a}＞1$，因为$b＞0$，且$b\ln b＞ae^{a}＞0$，则$b＞1$。当$x＞1$时，$f'(x)=\ln x + 1＞0$，则$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，$e^{a}\ln e^{a} ＜ b\ln b$，即$f(e^{a})＜f(b)$，所以$b＞e^{a}$。故选B。

(1)若存在正实数 $x$，使得不等式 $\dfrac{1}{a}\ln x\geqslant3^{ax}·\ln3(a＞0)$ 成立($\mathrm{e}$ 是自然对数的底数)，则 $a$ 的最大值为$\frac{1}{e\ln 3}$。
(2)若 $\forall x\in(0,+\infty)$，$\ln2x-\dfrac{a\mathrm{e}^x}{2}\leqslant\ln a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为$\left[\frac{2}{e},+\infty\right)$。

答案：
(1)$\frac{1}{e\ln 3}$
(2)$\left[\frac{2}{e},+\infty\right)$
(1)存在正实数$x$，使得不等式$\ln x \geqslant a · 3^{ax} · \ln 3(a＞0)$成立$\Leftrightarrow$存在正实数$x$，使得不等式$x\ln x \geqslant ax · 3^{ax} · \ln 3=3^{ax} · \ln 3^{ax}$成立，令$f(x)=x\ln x$，则$f'(x)=1 + \ln x$，当$0＜x＜\frac{1}{e}$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减，当$x＞\frac{1}{e}$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增，则原命题为存在正实数$x$，使得不等式$f(x) \geqslant f(3^{ax})$成立，因为$3^{ax}＞1＞\frac{1}{e}$，若$0＜x＜\frac{1}{e}$，则$x\ln x＜0$，不等式不成立，则$x＞\frac{1}{e}$，所以存在正实数$x$，使得不等式$3^{ax} \geqslant x$成立$\Leftrightarrow$存在正实数$x$，使得不等式$\ln x \geqslant \ln 3^{ax}=ax\ln 3$成立$\Leftrightarrow$
$\left(\frac{\ln x}{x}\right)_{\max} \geqslant a\ln 3$，令$g(x)=\frac{\ln x}{x}$，$x＞\frac{1}{e}$，则$g'(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}$，当$\frac{1}{e}＜x＜e$时，$g'(x)＞0$，$g(x)$单调递增，当$x＞e$时，$g'(x)＜0$，$g(x)$单调递减，所以$g(x)_{\max}=g(e)=\frac{1}{e}$，所以$\frac{1}{e} \geqslant a\ln 3$，所以$a$的最大值为$\frac{1}{e\ln 3}$。
(2)依题意，$\ln 2x - \frac{ae^{x}}{2} \leqslant \ln a \Leftrightarrow \ln 2x - \ln a \leqslant \frac{ae^{x}}{2} \Leftrightarrow 2\ln\frac{2x}{a} \leqslant ae^{x} \Leftrightarrow \frac{2x}{a}\ln\frac{2x}{a} \leqslant e^{x}\ln e^{x}$。因为$x＞0$，$a＞0$，所以若$0＜\frac{2x}{a} \leqslant 1$，显然成立，此时满足$\frac{2x}{a} \leqslant e^{x}$；若$\frac{2x}{a}＞1$，令$f(x)=x\ln x$，$f'(x)=\ln x + 1＞0$在$(1,+\infty)$上恒成立，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，而$\frac{2x}{a}\ln\frac{2x}{a} \leqslant e^{x}\ln e^{x}$，所以$\frac{2x}{a} \leqslant e^{x}$。综上，$\frac{2x}{a} \leqslant e^{x}$在$(0,+\infty)$上恒成立，所以$a \geqslant \frac{2x}{e^{x}}$。令$g(x)=\frac{2x}{e^{x}}$，$g'(x)=\frac{2 - 2x}{e^{x}}$，所以当$0＜x＜1$时，$g'(x)＞0$，$g(x)$单调递增；当$x＞1$时，$g'(x)＜0$，$g(x)$单调递减。所以$g(x) \leqslant g(1)=\frac{2}{e}$，即$a \geqslant \frac{2}{e}$，则实数$a$的取值范围为$\left[\frac{2}{e},+\infty\right)$。