《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 $ y $(或 $ x $)，得到关于 $ x $(或 $ y $)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 $ \Leftrightarrow \Delta $$ 0 $；直线与圆锥曲线相切 $ \Leftrightarrow \Delta $$ 0 $；直线与圆锥曲线相离 $ \Leftrightarrow \Delta $$ 0 $.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

答案： $\gt$ 0（或 $＞$ 0）；
= 0（或 $=$ 0）；
$\lt$ 0（或 $＜$ 0）。

2. 弦长公式
已知 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $，直线 $ AB $ 的斜率为 $ k $($ k \neq 0 $)，
则 $ |AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{1 + k^2} |x_1 - x_2| = $或 $ |AB| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} |y_1 - y_2| = $.
[微提醒] (1)直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用. (2)直线和曲线联立后化简得到的式子记为 $ Ax^2 + Bx + C = 0 $($ A \neq 0 $)，判别式为 $ \Delta = B^2 - 4AC $，$ \Delta ＞ 0 $ 时，$ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{(-\frac{B}{A})^2 - 4 · \frac{C}{A}} = \frac{\sqrt{B^2 - 4AC}}{|A|} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|} $，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率. (3)直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式.

答案： $\sqrt{1 + k^2} · \frac{\sqrt{\Delta}}{\vert A \vert}$；$\sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} · \frac{\sqrt{\Delta}}{\vert A' \vert}$（其中$A'$为联立后关于$y$的一元二次方程的二次项系数）

3. 切线
(1)若点 $ P(x_0,y_0) $ 是椭圆 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $($ a ＞ b ＞ 0 $)上的点，则过点 $ P $ 的切线方程为 $ \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $.
(2)若点 $ P(x_0,y_0) $ 是椭圆 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $($ a ＞ b ＞ 0 $)外的点，由点 $ P $ 向椭圆引两条切线，切点分别为 $ A $，$ B $，则弦 $ AB $ 所在直线方程为 $ \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $.
(3)双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $($ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $)上一点 $ P(x_0,y_0) $ 处的切线方程是 $ \frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1 $.
(4)抛物线 $ y^2 = 2px $($ p ＞ 0 $)上一点 $ P(x_0,y_0) $ 处的切线方程是 $ y_0y = p(x + x_0) $.

答案：
(3)1