《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 函数图象的对称性
(1) 若函数 $ y = f(x + a) $ 是偶函数，则函数 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = a $ 对称.
(2) 若函数 $ y = f(x + b) $ 是奇函数，则函数 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ (b, 0) $ 对称.
(3) 若函数 $ y = f(x) $ 满足 $ f(a + x) = f(b - x) $，则 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = $$\frac{a+b}{2}$ 对称.
特别地，当 $ a = b $ 时，即 $ f(a + x) = f(a - x) $ 或 $ f(x) = f(2a - x) $ 时，$ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = $a 对称.
(4) 若函数 $ y = f(x) $ 满足 $ f(x) + f(2a - x) = 2b $，则 $ y = f(x) $ 的图象关于点(a,b) 对称.
特别地，当 $ b = 0 $ 时，即 $ f(a + x) + f(a - x) = 0 $ 或 $ f(x) + f(2a - x) = 0 $ 时，$ y = f(x) $ 的图象关于点(a,0) 对称.
[微提醒] 具有对称性的等式两边的 $ x $ 的系数互为相反数，而具有周期性的等式两边的 $ x $ 的系数是相同的，也就是说同号求周期，异号求对称.

答案： $(3)\frac{a + b}{2} a (4)(a,b) (a,0)$

2. 两个函数图象的对称
(1) 函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = f(-x) $ 关于y轴 对称.
(2) 函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = -f(x) $ 关于x轴 对称.
(3) 函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = -f(-x) $ 关于原点 对称.

答案：
(1)y轴
(2)x轴
(3)原点

1. (多选题) 下列结论正确的是 (AD)

A.函数 $ y = f(x + 1) $ 是偶函数，则函数 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = 1 $ 对称
B.函数 $ y = f(x - 1) $ 是奇函数，则函数 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ (1, 0) $ 对称
C.若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x - 1) + f(x + 1) = 0 $，则 $ f(x) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称
D.若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2 + x) = f(2 - x) $，则 $ f(x) $ 的图象关于直线 $ x = 2 $ 对称

答案： 1.AD

2. 函数 $ f(x) = \frac{x + 1}{x} $ 图象的对称中心为 (B)

A.$ (0, 0) $
B.$ (0, 1) $
C.$ (1, 0) $
D.$ (1, 1) $

答案： 2.B 因为$f(x)=\frac{x + 1}{x}=1+\frac{1}{x},$由$y=\frac{1}{x}$向上平移一个单位长度得到$y = 1+\frac{1}{x},$又$y=\frac{1}{x}$关于(0,0)对称,所以$f(x)=1+\frac{1}{x}$的图象关于(0,
1)对称.故选B.

3. 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, 2) $ 上单调递增，且 $ f(x + 2) = f(2 - x) $ 对任意 $ x \in \mathbf{R} $ 恒成立，则 (A)

A.$ f(-1) \lt f(3) $
B.$ f(0) \gt f(3) $
C.$ f(-1) = f(3) $
D.$ f(0) = f(3) $

答案： 3.A 因为f(x + 2)=f(2 - x),所以f(x)的图象关于直线x = 2对称,所以f
(3)=f
(1),由于f(x)在$( - \infty,2)$上单调递增,所以$f( - 1) \lt f(1)=$
$f(3),f(0) \lt f(1)=f(3).$故选A.

4. 偶函数 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = 2 $ 对称，且当 $ x \in [2, 3] $ 时，$ f(x) = 2x - 1 $，则 $ f(-1) = $5.

答案： 4.5 因为f(x)为偶函数,所以f( - 1)=f
(1),由f(x)的图象关于x = 2
对称,可得f
(1)=f
(3)=2×3 - 1 = 5.

1. 设 $ f(x) = x^2 + bx - 3 $，且 $ f(-2) = f(0) $，则 $ f(x) \leq 0 $ 的解集为 (B)

A.$ (-3, 1) $
B.$ [-3, 1] $
C.$ [-3, -1] $
D.$ (-3, -1] $

答案： 1.B 二次函数$f(x)=x^{2}+bx - 3,f( - 2)=f(0),$则$-\frac{b}{2}=\frac{-2 + 0}{2},$得
$b = 2,f(x) \leq 0$即$x^{2}+2x - 3 \leq 0,$解得$ - 3 \leq x \leq 1,$则原不等式的解集
为[ - 3,1].故选B.

2. (2025·广东湛江模拟) 已知函数 $ f(x) $ 在 $ [3, +\infty) $ 上单调递减，且 $ f(x) $ 的图象关于直线 $ x = 3 $ 对称，则 $ a = f(0.2) $，$ b = f(2) $，$ c = f(0) $ 的大小关系是 (D)

A.$ a \gt b \gt c $
B.$ b \gt c \gt a $
C.$ c \gt b \gt a $
D.$ b \gt a \gt c $

答案： 2.D 因为函数f(x)在$[3, + \infty)$上单调递减,且f(x)的图象关于直线
x = 3对称,所以函数f(x)在$( - \infty,3)$上单调递增,因为$0 \lt 0.2 \lt 2,$所
以$f(0) \lt f(0.2) \lt f(2),$即$b \gt a \gt c.$故选D.