《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现](2023·新课标Ⅰ卷)已知集合 $M=\{-2,-1,0,1,2\}$，$N=\{x\mid x^{2}-x - 6\geq0\}$，则 $M\cap N =$ (C)

A.$\{-2,-1,0,1\}$
B.$\{0,1,2\}$
C.$\{-2\}$
D.$\{2\}$

答案： 真题再现 C 法一：因为$N=\{x\mid x^{2}-x-6\geq0\}=(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)，$而M=\{-2,-1,0,1,2\}，所以M∩N=\{-2\}.故选C.
法二：因为M=\{-2,-1,0,1,2\}，将-2,-1,0,1,2代入不等式$x^{2}-x-6\geq0，$只有-2使不等式成立，所以M∩N=\{-2\}.故选C.

[教材呈现]（北师必修一 P44A 组 T5）求下列不等式的解集：
（1）$2x^{2}-7x - 15＜0$；
（2）$-x^{2}+4x - 3\leq0$。
点评：两题均考查了一元二次不等式的解法，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系解题。

答案： （1）
$2x^{2}-7x - 15 = 0$，
因式分解得$(2x + 3)(x - 5)=0$，
则方程的两根为$x_{1}=-\frac{3}{2}$，$x_{2}=5$，
二次函数$y = 2x^{2}-7x - 15$的二次项系数$2\gt0$，函数图象开口向上，
所以不等式$2x^{2}-7x - 15\lt0$的解集为$\left\{x\mid-\frac{3}{2}\lt x\lt5\right\}$。
（2）
不等式$-x^{2}+4x - 3\leq0$两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x^{2}-4x + 3\geq0$，
$x^{2}-4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，
方程的两根为$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，
二次函数$y = x^{2}-4x + 3$的二次项系数$1\gt0$，函数图象开口向上，
所以不等式$x^{2}-4x + 3\geq0$的解集为$\left\{x\mid x\leq1或x\geq3\right\}$，
即不等式$-x^{2}+4x - 3\leq0$的解集为$\left\{x\mid x\leq1或x\geq3\right\}$。

已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + 2m + 1 = 0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间$(-1,0)$内，另一根在区间$(1,2)$内，求实数$m$的取值范围；
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间$(0,1)$内，求实数$m$的取值范围.

答案：
解：
(1)依题意知，函数$f(x)=x^{2}+2mx + 2m + 1$的图象与$x$轴的交点的横坐标分别在区间$(-1,0)$和$(1,2)$内，画出示意图，

$\begin{cases}f(0)=2m + 1 ＜ 0,\\f(-1)=2 ＞ 0,\\f(1)=4m + 2 ＜ 0,\\f(2)=6m + 5 ＞ 0.\end{cases}$
解得$-\frac{5}{6}＜m＜-\frac{1}{2}$，故实数$m$的取值范围为$(-\frac{5}{6},-\frac{1}{2})$。
(2)依题意知，函数$f(x)=x^{2}+2mx + 2m + 1$的图象与$x$轴的交点的横坐标落在区间$(0,1)$内，画出示意图，

$\begin{cases}f(0)＞0,\\f(1)＞0,\\\Delta＞0,\\0＜-m＜1.\end{cases}$即$\begin{cases}m＞-\frac{1}{2},\\m＜-\frac{1}{2},\\m＞1 + \sqrt{2}或m＜1 - \sqrt{2},\\-1＜m＜0.\end{cases}$
解得$-\frac{1}{2}＜m＜1 - \sqrt{2}$，故实数$m$的取值范围为$(-\frac{1}{2},1 - \sqrt{2})$。

(1)(2025·江苏扬州模拟)已知方程$x^{2}+(m - 2)x + 5 - m = 0$的两根都大于$2$，则实数$m$的取值范围是(B)

A.$(-5,-4]\cup[4,+\infty)$
B.$(-5,-4]$
C.$(-5,+\infty)$
D.$[-4,-2)\cup[4,+\infty)$

答案：
(1)B 方程$x^{2}+(m - 2)x + 5 - m = 0$的两根都大于$2$，则二次函数$f(x)=x^{2}+(m - 2)x + 5 - m$的图象与$x$轴的两个交点都在$x = 2$的右侧，根据图象得$\begin{cases}(m - 2)^{2}-4(5 - m)\geq0,\\4 + 2(m - 2)+5 - m＞0,\frac{m - 2}{2}＞2,\end{cases}$解得$-5＜m\leq - 4$，即实数$m$的取值范围为$(-5,-4]$，故选B。

(2)若函数$f(x)=(m - 2)x^{2}+mx + 2m + 1$的两个零点分别在区间$(-1,0)$和区间$(1,2)$内，则实数$m$的取值范围是(C)

A.$\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)$
B.$\left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right)$
C.$\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right)$
D.$\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right]$

答案：
(2)C 根据题意有，$\begin{cases}f(-1)· f(0)＜0,\\f(1)· f(2)＜0,\end{cases}$解得$\frac{1}{4}＜m＜\frac{1}{2}$，即实数$m$的取值范围是$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$，故选C。