《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. 三角形解的判断

答案： ① $a = b\sin A$，一解（右一图）
当 $A$ 为锐角且 $a = b\sin A$ 时，利用正弦函数在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 的单调性，有 $\sin A = \frac{a}{b}$，此时 $A$ 唯一确定，三角形有一解。
② $b\sin A ＜ a ＜ b$，两解（中间两图左侧图）
当 $A$ 为锐角且 $b\sin A ＜ a ＜ b$ 时，由正弦定理 $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$，此时会有两个不同的 $B$ 满足条件，三角形有两解。
③ $a \geq b$，一解
当 $a\geq b$ 时：
若 $A$ 为锐角，由大边对大角可知 $A\geq B$，$B$ 为锐角，利用正弦定理 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$，因为 $a\geq b$，所以 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}\leq\sin A$，$B$ 唯一确定，三角形有一解。
若 $A$ 为直角或钝角，因为 $a\geq b$，则 $A\geq B$ 恒成立，$B$ 唯一确定，三角形有一解。
④ $a ＞ b$，一解（右二图）
当 $A$ 为直角或钝角且 $a ＞ b$ 时，$A$ 是三角形中最大的角，根据大角对大边，$a$ 所对的角 $A$ 最大，此时 $B$ 唯一确定，三角形有一解。

3. 三角形中常用的面积公式

答案： $\frac{1}{2}ac\sin B$；$\frac{1}{2}bc\sin A$；$\frac{1}{2}(a+b+c)r$

1. (多选题)下列说法正确的是(BC)

A.三角形中三边之比等于相应的三个内角之比
B.在$\triangle ABC$中，若$\sin A ＞ \sin B$，则$A ＞ B$
C.在$\triangle ABC$中，$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{a + b - c}{\sin A + \sin B - \sin C}$
D.当$b^{2} + c^{2} - a^{2} ＞ 0$时，$\triangle ABC$为锐角三角形；当$b^{2} + c^{2} - a^{2} = 0$时，$\triangle ABC$为直角三角形；当$b^{2} + c^{2} - a^{2} ＜ 0$时，$\triangle ABC$为钝角三角形

答案： BC

2. (链接北师必修二 P118 练习 T2，改编)已知$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$A = \dfrac{\pi}{6}$，$B = \dfrac{\pi}{4}$，$a = 1$，则$b =$(D)

A.$2$
B.$1$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$

答案： D　由$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$得$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.故选D.

3. (2025·八省适应性测试)在$\triangle ABC$中，$BC = 8$，$AC = 10$，$\cos\angle BAC = \dfrac{3}{5}$，则$\triangle ABC$的面积为(C)

A.$6$
B.$8$
C.$24$
D.$48$

答案：
C　设AB=x,根据余弦定理BC²=AC²+AB²−2AC·AB·cos∠BAC,已知BC=8,AC=10,cos∠BAC=$\frac{3}{5}$,代入可得8²=10²+x²−2×10×x×$\frac{3}{5}$,即x²−12x+36=0,解得x=6,由于BC²+AB²=64+36=100=AC²,则△ABC为直角三角形,则S=$\frac{1}{2}$×6×8 =24.故选C;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4. (链接北师必修二 P116 例 3，改编)记$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，面积为$\sqrt{3}$，$B = 60^{\circ}$，$a^{2} + c^{2} = 3ac$，则$b =$$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$　由题意得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{\sqrt{3}}{4}ac=\sqrt{3}$，则ac = 4，所以$a^{2}+c^{2}=3ac = 3×4 = 12$，所以$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B=12-2×4×\frac{1}{2}=8$，则$b = 2\sqrt{2}$.

(1)求$A$；

答案： 答案略

(2)若$a = 2$，$\sqrt{2}b\sin C = c\sin 2B$，求$\triangle ABC$的周长.
[思路分析]

答案： 答案略

(1)法一：$\sin A + \sqrt{3}\cos A = 2$ $\xrightarrow{除以 2}$ $\dfrac{1}{2}\sin A + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos A = 1$ $\xrightarrow{辅助角公式}$ $\sin\left(A + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$ $\xrightarrow{特殊角的值}$ $A + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$ $\xrightarrow{}$ $A = \dfrac{\pi}{6}$
法二：$\sin A + \sqrt{3}\cos A = 2$ $\xrightarrow{平方关系}$ $\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1$ $\xrightarrow{解方程组}$ $2\cos A - \sqrt{3} = 0$ $\xrightarrow{A\in(0,\pi)}$ $A = \dfrac{\pi}{6}$

答案： 已知$\sin A + \sqrt{3}\cos A = 2$，且$A \in (0, \pi)$，求角$A$。
法一：辅助角公式
$\sin A + \sqrt{3}\cos A = 2$
等式两边同除以$2$得：$\frac{1}{2}\sin A + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos A = 1$
由辅助角公式$\sin(A + \frac{\pi}{3}) = 1$
因为$\sin\theta = 1$时，$\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi(k \in \mathbb{Z})$，
所以$A + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，即$A = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
又$A \in (0, \pi)$，故$A = \frac{\pi}{6}$。
法二：平方关系
由$\sin A + \sqrt{3}\cos A = 2$得$\sin A = 2 - \sqrt{3}\cos A$
代入$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$：$(2 - \sqrt{3}\cos A)^2 + \cos^2 A = 1$
展开得：$4 - 4\sqrt{3}\cos A + 3\cos^2 A + \cos^2 A = 1$
整理：$4\cos^2 A - 4\sqrt{3}\cos A + 3 = 0$
解得：$\cos A = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 4 × 4 × 3}}{2 × 4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
因为$A \in (0, \pi)$，所以$A = \frac{\pi}{6}$。
结论：$A = \frac{\pi}{6}$

(2)$\sqrt{2}b\sin C = c\sin 2B$ $\xrightarrow{正弦定理、倍角公式}$ $\sqrt{2}\sin B\sin C = 2\sin C\sin B\cos B$ $\xrightarrow{约分}$ $\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\xrightarrow{特殊角}$ $B = \dfrac{\pi}{4}$ $\xrightarrow{内角和定理}$ $C = \dfrac{7\pi}{12}$ $\xrightarrow{两角和的正弦}$ $\sin C = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ $\xrightarrow{正弦定理}$ $b = 2\sqrt{2}$，$c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$
[答题模板]
解：(1)法一：(辅助角公式)
由$\sin A + \sqrt{3}\cos A = 2$可得$\dfrac{1}{2}\sin A + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos A = 1$，① [1 分]
即$\sin\left(A + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$，② [3 分]
由于$A\in(0,\pi)\Rightarrow A + \dfrac{\pi}{3}\in\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}\right)$，③ [4 分]
故$A + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$，解得$A = \dfrac{\pi}{6}$. ④ [6 分]
法二：(同角三角函数的基本关系)
由$\sin A + \sqrt{3}\cos A = 2$，可知$\sin A = 2 - \sqrt{3}\cos A$，所以$\sin^{2}x = 4 - 4\sqrt{3}\cos A + 3\cos^{2}A$，
又$\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1$，① [1 分]
消去$\sin A$得到：$4\cos^{2}A - 4\sqrt{3}\cos A + 3 = 0 \Leftrightarrow (2\cos A - \sqrt{3})^{2} = 0$，② [3 分]
解得$\cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，③ [4 分]
又$A\in(0,\pi)$，故$A = \dfrac{\pi}{6}$. ④ [6 分]

答案：
(1)$A = \frac{\pi}{6}$；
(2)$B = \frac{\pi}{4}$，$C = \frac{7\pi}{12}$，$b = 2\sqrt{2}$，$c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$。