《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (2025·河南郑州模拟)函数$f(x)=\sqrt{\ln(1 - x)}$的定义域为(A)

A.$(-\infty,0]$
B.$(-\infty,1)$
C.$[0,1)$
D.$[0,+\infty)$

答案： 1.A函数$f(x)=\sqrt{\ln(1 - x)}$有意义，等价于$\begin{cases}1 - x ＞ 0,\\\ln(1 - x)\geq0,\end{cases}$解得$x \leq 0$，故函数的定义域为$(-\infty,0]$.故选A.

2. (2025·北京东城模拟)函数$f(x)=\left(\dfrac{1}{2x + 10}\right)^{0}+\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-8}$的定义域为(C)

A.$(-\infty,-5)\cup(-5,-3)$
B.$(-\infty,-3)$
C.$(-\infty,-5)\cup(-5,-3]$
D.$(-\infty,-3]$

答案： 2.C令$\begin{cases}2x + 10 \neq 0,\frac{1}{2})^{x}-8\geq0,\end{cases}$解得$x \leq - 3$且$x \neq - 5，$所以函数f(x)的定义域为$(-\infty,-5)\cup(-5,-3].$故选C.

3. (2025·江苏徐州模拟)已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,2]$，则函数$g(x)=\dfrac{f(x - 1)}{\sqrt{2x - 1}}$的定义域为(A)

A.$\left(\dfrac{1}{2},3\right]$
B.$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
C.$\left(\dfrac{1}{2},2\right]$
D.$\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$

答案： 3.A函数$f(x)$的定义域为$[-1,2]$，由函数$g(x)=\frac{f(x - 1)}{\sqrt{2x - 1}}$有意义，得$\begin{cases}-1\leq x - 1\leq2,\\2x - 1 ＞ 0,\end{cases}$解得$\frac{1}{2}＜x\leq3$，所以函数$g(x)$的定义域为$(\frac{1}{2},3]$.故选A.

4. 已知函数$f(x)=\sqrt{mx^{2}-(m - 2)x + m - 1}$的定义域为$\mathbf{R}$，则实数$m$的取值范围是$\left[\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty\right)$.

答案： 4.$\left[\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty\right)$若函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，则有$m＞0$且$\Delta=(m - 2)^{2}-4m(m - 1)\leq0$，解得$m\geq\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以实数$m$的取值范围是$\left[\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty\right)$.

(1) 已知$f(1-\sin x)=\cos^{2}x$，求$f(x)$的解析式；

答案：
(1)(换元法)设$1 - \sin x = t$，$t\in[0,2]$，则$\sin x = 1 - t$，因为$f(1 - \sin x)=\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$，所以$f(t)=1-(1 - t)^{2}=2t - t^{2}$，$t\in[0,2]$，即$f(x)=2x - x^{2}$，$x\in[0,2]$.

(2)(一题多变)已知$f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$，求$f(x)$的解析式；

答案：
(2)(配凑法)因为$f(x+\frac{1}{x})=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2$，所以$f(x)=x^{2}-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$.

(3) 已知$f(x)$是一次函数且$3f(x + 1)-2f(x - 1)=2x + 17$，求$f(x)$的解析式；

答案：
(3)(待定系数法)因为$f(x)$是一次函数，可设$f(x)=ax + b(a\neq0)$，所以$3[a(x + 1)+b]-2[a(x - 1)+b]=2x + 17$，即$ax+(5a + b)=2x + 17$，所以$\begin{cases}a = 2,\\5a + b = 17.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 7.\end{cases}$所以$f(x)$的解析式是$f(x)=2x + 7$.

(4)(一题多变)已知$f(x)$满足$2f(x)+f(-x)=3x$，求$f(x)$的解析式.

答案：
(4)(解方程组法)因为$2f(x)+f(-x)=3x$，①
所以将$x$用$-x$替换，得$2f(-x)+f(x)=-3x$，②
由①②解得$f(x)=3x$.

变式探究
1. (变条件)若本例(2)条件变为$f\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=x^{4}+\dfrac{1}{x^{4}}$，则$f(x)$的解析式为$f(x)=x^{2}-2(x\geq2)$.

答案： 1.$f(x)=x^{2}-2(x\geq2)$ $f(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}-2$，又$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geq2\sqrt{x^{2}·\frac{1}{x^{2}}}=2$，当且仅当$x^{2}=\frac{1}{x^{2}}$，即$x = \pm1$时等号成立.
设$t = x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$，则$t\geq2$，所以$f(t)=t^{2}-2(t\geq2)$，所以$f(x)=x^{2}-2(x\geq2)$.

2. (变条件)若本例(4)条件变为$2f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x$，则$f(x)$的解析式为$f(x)=2x-\frac{1}{x}$，$x\neq0$.

答案： 2.$f(x)=2x-\frac{1}{x}$，$x\neq0$因为$2f(x)+f(\frac{1}{x})=3x$①，所以将$x$用$\frac{1}{x}$替换，得$2f(\frac{1}{x})+f(x)=3·\frac{1}{x}$②，由①②解得$f(x)=2x-\frac{1}{x}$，$x\neq0$.