《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)已知$A$，$B$，$C$是平面上不共线的三点，$O$为坐标原点，动点$P$满足$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}[(1-\lambda)\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}+(1+2\lambda)\overrightarrow{OC}]$，$\lambda\in\mathbf{R}$，则点$P$的轨迹一定经过(C)

A.$\triangle ABC$的内心
B.$\triangle ABC$的垂心
C.$\triangle ABC$的重心
D.$\triangle ABC$的外心

答案：
(1)C
(1)取AB的中点D，则$2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，因为$\overrightarrow{OP} =\frac{1}{3}[(1 - \lambda)\overrightarrow{OA}+(1 - \lambda)\overrightarrow{OB}+(1 + 2\lambda)\overrightarrow{OC}]$，所以$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}[2(1 - \lambda)\overrightarrow{OD}+(1 + 2\lambda)\overrightarrow{OC}]$，而$\frac{2(1 - \lambda)}{3}+\frac{1 + 2\lambda}{3}=1$，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过$\triangle ABC$的重心，故选C.

(2)在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，$|\overrightarrow{AB}|=\lambda|\overrightarrow{AC}|$，若$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=9\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{EC}$，则实数$\lambda=$(D)

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案：
(2)D
(2)由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0$，知O为$\triangle ABC$的重心，所以$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，又$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，所以$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，$9\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{EC}=3(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})·(\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}^{2}+3\overrightarrow{AC}^{2}=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$，所以$2\overrightarrow{AB}^{2}=3\overrightarrow{AC}^{2}$，$\lambda=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，故选D.

已知$\triangle ABC$的外接圆圆心为$O$，$G$为$\triangle ABC$所在平面内一点，且$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$，若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AO}$，则$\sin\angle BOG=$(C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{\sqrt{15}}{4}$
D.$\frac{3\sqrt{15}}{8}$

答案：
对点练1.C 取BC的中点D，连接AD，由$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$，知G为$\triangle ABC$的重心，则G在AD上，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，而$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{4}{5}\overrightarrow{AD}$，所以A，G，O，D四点共线，所以$AB = AC$，即$AD\perp BC$，不妨令$AD = 5$，则$AO = BO = 4$，$OD = 1$，所以$\sin\angle BOG=\sin\angle BOD=\frac{BD}{BO}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，故选C.

(1)设$P$是$\triangle ABC$所在平面内一点，若$\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CP}$，且$\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AC}^2 - 2\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AP}$，则点$P$是$\triangle ABC$的(A)

A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心

答案： 典例2
(1)A
(1)由$\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})=2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CP}$，得$\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CP})=0$，即$\overrightarrow{AB}·[(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP})+(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CP})]=0$，所以$\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA})=0$，设D为AB的中点，则$\overrightarrow{AB}·2\overrightarrow{PD}=0$，故$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{PD}=0$，由$\overrightarrow{AB}^{2}=\overrightarrow{AC}^{2}-2\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AP}$，得$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})·(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=-2\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AP}$，即$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AP})·\overrightarrow{BC}=0$，设E为BC的中点，则$(2\overrightarrow{AE}-2\overrightarrow{AP})·\overrightarrow{BC}=0$，则$2\overrightarrow{PE}·\overrightarrow{BC}=0$，故$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{PE}=0$，所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是$\triangle ABC$的外心，故选A.

(2)已知$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$AC = 5$，点$O$为$\triangle ABC$所在平面内一点，满足$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，则$\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{BC}=$$\frac{9}{2}$。

答案：
(2)$\frac{9}{2}$
(2)因为点O为$\triangle ABC$所在平面内一点，且满足$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，所以O为$\triangle ABC$的外心，取BC的中点为D，连接OD，AD(图略)，则$OD\perp BC$，即$\overrightarrow{OD}·\overrightarrow{BC}=0$，所以$\overrightarrow{AO}·\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO})·\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DO}·\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})·(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}^{2}-\overrightarrow{AB}^{2})=\frac{1}{2}×(5^{2}-4^{2})=\frac{9}{2}$.

已知$\triangle ABC$，点$H$，$O$为$\triangle ABC$所在平面内的点，且$\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BH}·\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BH}·\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$，则点$O$为$\triangle ABC$的(B)

A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心

答案： 对点练2.B 因为$\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AH}·(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=0$，即$\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{CB}=0$，又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$，所以$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AH}$，所以$(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})·\overrightarrow{CB}=0$，即$(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})·(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0$，所以$|\overrightarrow{OB}|^{2}-|\overrightarrow{OC}|^{2}=0$，所以$OB = OC$，同理，$OA = OC$，所以O为$\triangle ABC$的外心，故选B.

(2024·河南南阳模拟)若$H$为$\triangle ABC$所在平面内一点，且$|\overrightarrow{HA}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{HB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 = |\overrightarrow{HC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2$，则点$H$是$\triangle ABC$的(D)

A.重心
B.外心
C.内心
D.垂心

答案： 典例3 D $|\overrightarrow{HA}|^{2}+|\overrightarrow{BC}|^{2}=|\overrightarrow{HB}|^{2}+|\overrightarrow{CA}|^{2}\Rightarrow|\overrightarrow{HA}|^{2}+(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HC})^{2}=|\overrightarrow{HB}|^{2}+(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA})^{2}$，得$\overrightarrow{BH}·\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{CH}·\overrightarrow{HA}\Rightarrow\overrightarrow{HC}·\overrightarrow{BA}=0$，即$\overrightarrow{HC}\perp\overrightarrow{BA}$；$|\overrightarrow{HA}|^{2}+|\overrightarrow{BC}|^{2}=|\overrightarrow{HC}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}\Rightarrow|\overrightarrow{HA}|^{2}+(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HC})^{2}=|\overrightarrow{HC}|^{2}+(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA})^{2}$，得$\overrightarrow{CH}·\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{HB}\Rightarrow\overrightarrow{BH}·\overrightarrow{AC}=0$，即$\overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{AC}$；$|\overrightarrow{HB}|^{2}+|\overrightarrow{CA}|^{2}=|\overrightarrow{HC}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}\Rightarrow|\overrightarrow{HB}|^{2}+(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA})^{2}=|\overrightarrow{HC}|^{2}+(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB})^{2}$，得$\overrightarrow{CH}·\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{HB}\Rightarrow\overrightarrow{HA}·\overrightarrow{CB}=0$，即$\overrightarrow{HA}\perp\overrightarrow{CB}$，所以H为$\triangle ABC$的垂心，故选D.

已知$O$是$\triangle ABC$所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{BC}|^2=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{AC}|^2$，则点$O$(A)

A.在$AB$边的高所在的直线上
B.在$\angle C$平分线所在的直线上
C.在$AB$边的中线所在的直线上
D.是$\triangle ABC$的外心

答案： 对点练3.A 取AB的中点D，由题意，$\overrightarrow{BA}·(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=-|\overrightarrow{BC}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})^{2}-(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})^{2}=2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{BA}·2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BA}·(-2\overrightarrow{CD})$，所以$\overrightarrow{BA}·2\overrightarrow{OC}=0$，所以$\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{OC}$，所以点O在AB边的高所在的直线上，故选A.