《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例
(1)(2025·江西新余期末)数列 $ \{F_{n}\} $：$ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,·s $，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和。记该数列 $ \{F_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，则下列结论正确的是(A)
A. $ F_{2026}=S_{2024}+1 $
B. $ F_{2026}=S_{2025}+1 $
C. $ S_{2024}=F_{2026}+2 $
D. $ S_{2025}=F_{2026}+2 $
(2)(多选题)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：$ 1,1,2,3,5,8,13,·s $，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 $ \{a_{n}\} $ 称为“斐波那契数列”，记 $ S_{n} $ 为数列 $ \{a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和，则下列结论正确的是(ACD)
A. $ a_{7}=13 $
B. $ S_{8}=97 $
C. $ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+·s +a_{2024}^{2}=a_{2024}a_{2025} $
D. $ a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s +a_{199}=a_{200} $

答案：
(1)由题意得$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n，$故$F_3 - F_2= F_1，$$F_4 - F_3=F_2，$$F_5 - F_4=F_3，$…，$F_{2026} - F_{2025}=F_{2024}，$上面的式子相加得$F_{2026} - F_2=S_{2024}，$又$F_2=1，$故$F_{2026}=S_{2024}+1. $故选A.
(2)对于A，由题意，数列的前7项为：1,1,2,3,5,8,13，故$a_7=13，$故A正确；对于B，$S_8=1+1+2+3+5+8+13+21=54，$故B错误；对于C，由题意$a_1=1，$$a_2=1，$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n，$所以$a_{n+1}=a_{n+2}-a_n，$$a_1^2=a_1a_2，$$a_2^2=a_2(a_3 - a_1)=a_2a_3 - a_1a_2，$$a_3^2=a_3(a_4 - a_2)=a_3a_4 - a_2a_3，$…，$a_n^2=a_n(a_{n+1} - a_{n-1})=a_na_{n+1} - a_{n-1}a_n，$所以$a_1^2+a_2^2+…+a_{2024}^2=a_1a_2+(a_2a_3 - a_1a_2)+(a_3a_4 - a_2a_3)+…+(a_{2024}a_{2025} - a_{2023}a_{2024})=a_{2024}a_{2025}，$故C正确；对于D，由C可知$a_1+a_3+a_5+…+a_{199}=a_2+(a_4 - a_2)+(a_6 - a_4)+…+(a_{200} - a_{198})=a_{200}，$故D正确. 故选ACD.

(1)(2025·河南焦作模拟)我们把由 0 和 1 组成的数列称为 $ 0 - 1 $ 数列，$ 0 - 1 $ 数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列 $ \{F_{n}\} $($ F_{1}=F_{2}=1 $，$ F_{n + 2}=F_{n}+F_{n + 1} $)中的奇数换成 0，偶数换成 1 可得到 $ 0 - 1 $ 数列 $ \{a_{n}\} $，若数列 $ \{a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，且 $ S_{k}=100 $，则 $ k $ 的值可能是(C)
A. 100
B. 201
C. 302
D. 399
(2)(多选题)(2025·山东烟台模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：$ 1,1,2,3,5,8,13,21,·s $。该数列的特点如下：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用 $ F(n) $($ n\in\mathbf{N}_{+} $)表示斐波那契数列的第 $ n $ 项，则数列 $ \{F(n)\} $ 满足：$ F(1)=F(2)=1 $，$ F(n + 2)=F(n + 1)+F(n) $。则下列说法正确的是(BCD)
A. $ F(10)=34 $
B. $ 3F(n)=F(n - 2)+F(n + 2)(n\geqslant3) $
C. $ F(1)+F(2)+·s +F(2023)=F(2025)-1 $
D. $ [F(1)]^{2}+[F(2)]^{2}+·s +[F(2025)]^{2}=F(2025)· F(2026) $
(3)(2025·北京海淀模拟)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用。斐波那契数列 $ \{a_{n}\} $ 可以用如下方法定义：$ a_{n}=a_{n - 1}+a_{n - 2}(n\geqslant3,n\in\mathbf{N}_{+}) $，$ a_{1}=a_{2}=1 $。若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新数列 $ \{b_{n}\} $，则 $ b_{2026}= $3。

答案：
(1)因为$F_1=F_2=1，$$F_{n+2}=F_n+F_{n+1}，$所以$F_3=2，$$F_4=3，$$F_5=5，$$F_6=8，$$F_7=13，$$F_8=21，$$F_9=34，$…，所以数列\{a_n\}的前若干项为：$a_1=a_2=0，$$a_3=1，$$a_4=0，$$a_5=0，$$a_6=1，$$a_7=0，$$a_8=0，$$a_9=1，$…，则$a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6=a_7+a_8+a_9=…=1，$所以$S_{100}=33×1+0=33，$$S_{201}=67×1=67，$$S_{302}=100×1+0×2=100，$$S_{399}=133×1=133. $故选C.
(2)对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，所以F
(10)=55，故A错误；对于B，当n≥3时，F(n-1)+F(n-2)=F(n)，F(n+1)=F(n)+F(n-1)，F(n+2)=F(n+1)+F(n)，所以三式相加得F(n-1)+F(n-2)+F(n+1)+F(n+2)=F(n)+F(n-1)+F(n)+F(n+1)+F(n)，所以3F(n)=F(n-2)+F(n)(n≥3)，故B正确；对于C，因为数列\{F(n)\}满足：F
(1)=F
(2)=1，F(n+2)=F(n+1)+F(n)，所以F
(3)=F
(2)+F
(1)，F
(4)=F
(3)+F
(2)，F
(5)=F
(4)+F
(3)，…，F
(2023)=F
(2022)+F
(2021)，F
(2024)=F
(2023)+F
(2022)，F
(2025)=F
(2024)+F
(2023)，以上2023个等式相加得F
(2025)=F
(202)+F
(1)+F
(2)+F
(3)+…+F
(2022)+F
(2023)，因为F
(2)=1，所以F
(1)+F
(2)+…+F
(2023)=F
(2025)-1，故C正确；对于D.因为F
(1)=F
(2)=1，F(n+2)=F(n+1)+F(n)，所以$[F(1)]^2=F(1)F(2)，$$[F(2)]^2=F(2)F(3)-F(1)F(2)，$$[F(3)]^2=F(3)F(4)-F(2)F(3)，$$[F(4)]^2=F(4)F(5)-F(3)F(4)，$…，$[F(2024)]^2=F(2024)F(2025)-F(2023)F(2024)，$$[F(2025)]^2=F(2025)F(2026)-F(2024)F(2025)，$所以$[F(1)]^2+[F(2)]^2+…+[F(2025)]^2=F(2025)·F(2026)，$故D正确. 故选BCD.
(3)因为$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n≥3，$n∈N_+)，$a_1=a_2=1，$所以数列\{a_n\}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…此数列各项除以4的余数依次构成的数列\{b_n\}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…是以6为周期的周期数列，所以$b_{2026}=b_{6×337+4}=b_4=3.$