《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

求适合下列各条件的椭圆的标准方程：

答案： 答题卡：
1.若椭圆的长轴长为$8$，短轴长为$4$，且焦点在$x$轴上：
由题意知$2a = 8$，$2b = 4$，则$a = 4$，$b = 2$。
椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，所以所求椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$。
2.若椭圆的长轴长为$12$，焦距为$8$，且焦点在$x$轴上：
由$2a = 12$，得$a = 6$；由$2c = 8$，得$c = 4$。
根据$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，可得$b^{2}=36 - 16=20$。
椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，所以所求椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$。
3.若椭圆的两个顶点坐标为$(0, \pm 6)$，$( \pm 3,0)$：
因为顶点坐标为$(0, \pm 6)$，$( \pm 3,0)$，所以$a = 6$，$b = 3$。
椭圆标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$，所以所求椭圆标准方程为$\frac{y^{2}}{36}+\frac{x^{2}}{9}=1$。

(1)长轴是短轴的$3$倍且经过点$A(3,0)$；

答案： 情况一：焦点在x轴上
设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$，长轴长$2a$，短轴长$2b$，由题意$2a=3×2b\Rightarrow a=3b$。
因椭圆过点$A(3,0)$，代入方程得$\frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow\frac{9}{a^2}=1\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=3$，则$b=1$，$b^2=1$。
椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+y^2=1$。
情况二：焦点在y轴上
设椭圆方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$，由$a=3b$。
因椭圆过点$A(3,0)$，代入方程得$\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\Rightarrow\frac{9}{b^2}=1\Rightarrow b^2=9\Rightarrow b=3$，则$a=9$，$a^2=81$。
椭圆方程为$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$。
结论：椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+y^2=1$或$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$。

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为$\sqrt{3}$；

答案： 设椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$（焦点在$x$轴上），两焦点为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，短轴一个端点为$B(0,b)$。
①因为短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，所以$\vert F_1B\vert=\vert F_1F_2\vert$，根据两点间距离公式$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$可得：
$\sqrt{(0 + c)^2 + (b - 0)^2}=2c$，即$c^{2}+b^{2}=4c^{2}$，又$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，则$c^{2}+a^{2}-c^{2}=4c^{2}$，可得$a = 2c$。
②因为焦点到同侧顶点的距离为$\sqrt{3}$，所以$a - c = \sqrt{3}$。
③将$a = 2c$代入$a - c = \sqrt{3}$，得$2c - c = \sqrt{3}$，解得$c = \sqrt{3}$。
④把$c = \sqrt{3}$代入$a = 2c$，得$a = 2\sqrt{3}$。
⑤再根据$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，可得$b^{2}=(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=12 - 3 = 9$。
所以椭圆方程为$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$。
当椭圆焦点在$y$轴上时，设椭圆方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$，同理可得$a = 2c$，$a - c = \sqrt{3}$，解得$c = \sqrt{3}$，$a = 2\sqrt{3}$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=9$，椭圆方程为$\frac{y^{2}}{12}+\frac{x^{2}}{9}=1$。
综上，椭圆方程为$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$或$\frac{y^{2}}{12}+\frac{x^{2}}{9}=1$。

(3)经过点$P(-2\sqrt{3},1),Q(\sqrt{3},-2)$两点；

答案： 设椭圆方程为$mx^{2} + ny^{2} = 1$（$m ＞ 0,n ＞ 0,m\neq n$）。
因为椭圆经过点$P(-2\sqrt{3},1)$，$Q(\sqrt{3}, - 2)$，将两点代入椭圆方程可得：
$\begin{cases}12m + n = 1,\\3m + 4n = 1.\end{cases}$
由$12m + n = 1$可得$n = 1 - 12m$，将其代入$3m + 4n = 1$中：
$3m + 4(1 - 12m)=1$，
$3m + 4 - 48m = 1$，
$-45m = 1 - 4$，
$-45m = - 3$，
解得$m = \frac{1}{15}$。
将$m = \frac{1}{15}$代入$n = 1 - 12m$可得：
$n = 1 - 12×\frac{1}{15}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。
所以椭圆方程为$\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{5} = 1$。

(4)与椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$有相同离心率，且经过点$(2,-\sqrt{3})$.

答案： 设所求椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$（焦点在$x$轴上）或$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$（焦点在$y$轴上）。
已知椭圆$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$，根据椭圆离心率公式$e = \frac{c}{a}$（其中$c$为焦距，$a$为长半轴长），且$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，可得$c = \sqrt{4 - 3}=1$，则离心率$e = \frac{1}{2}$。
情况一：当所求椭圆焦点在$x$轴上时
因为所求椭圆与已知椭圆离心率相同，所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即$c = \frac{a}{2}$，又$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，则$(\frac{a}{2})^{2}=a^{2}-b^{2}$，化简可得$b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$，此时椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{\frac{3}{4}a^{2}} = 1$。
把点$(2,-\sqrt{3})$代入方程$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{\frac{3}{4}a^{2}} = 1$中，可得$\frac{4}{a^{2}} + \frac{3}{\frac{3}{4}a^{2}} = 1$，即$\frac{4}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = 1$，$\frac{8}{a^{2}} = 1$，解得$a^{2}=8$，则$b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}=6$，所以椭圆方程为$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$。
情况二：当所求椭圆焦点在$y$轴上时
同理$c = \frac{a}{2}$，$b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$，此时椭圆方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{\frac{3}{4}a^{2}} = 1$。
把点$(2,-\sqrt{3})$代入方程$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{\frac{3}{4}a^{2}} = 1$中，可得$\frac{3}{a^{2}} + \frac{4}{\frac{3}{4}a^{2}} = 1$，即$\frac{3}{a^{2}} + \frac{16}{3a^{2}} = 1$，通分得到$\frac{9 + 16}{3a^{2}} = 1$，$\frac{25}{3a^{2}} = 1$，解得$a^{2}=\frac{25}{3}$，则$b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}=\frac{25}{4}$，所以椭圆方程为$\frac{y^{2}}{\frac{25}{3}} + \frac{x^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$，即$\frac{y^{2}}{\frac{25}{3}} + \frac{x^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$（可化为$\frac{x^{2}}{\frac{25}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{3}} = 1$ ）。
综上，所求椭圆方程为$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$或$\frac{x^{2}}{\frac{25}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{3}} = 1$。

(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线$C:x^2 + y^2 = 16(y＞0)$，从$C$上任意一点$P$向$x$轴作垂线段$PP'$，$P'$为垂足，则线段$PP'$的中点$M$的轨迹方程为(A)

A.$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1(y＞0)$
B.$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1(y＞0)$
C.$\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{x^2}{4}=1(y＞0)$
D.$\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{x^2}{8}=1(y＞0)$

答案： 典例4 A

(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的离心率为$\dfrac{1}{3}$，$A_1,A_2$分别为$C$的左、右顶点，$B$为$C$的上顶点.若$\overrightarrow{BA_1}·\overrightarrow{BA_2}=-1$，则$C$的方程为(B)
A. $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{16}=1$
B. $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{8}=1$
C. $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$
D. $\dfrac{x^2}{2}+y^2 = 1$
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点$\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right),(\sqrt{3},\sqrt{5})$，则椭圆的标准方程为$$$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$$$.

答案：
(1)B
(2)$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$

(1)(一题多解)(2025·山东名校联考)已知点$A,B,C$为椭圆$D$的三个顶点，若$\triangle ABC$是正三角形，则$D$的离心率是(C)

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
(1)C

(2)(2024·河南洛阳模拟)已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别是$F_1,F_2$，$A,B$是椭圆$C$的任意两点，四边形$ABF_1F_2$是平行四边形，且$\vert AB\vert\leqslant2\vert AF_2\vert$，则椭圆$C$的离心率的取值范围是$$_________$$.

答案：
(2)$\left[\frac{1}{2},1\right)$

如图，焦点在$x$轴上的椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(b＞0)$的离心率$e=\dfrac{1}{2}$，$F,A$分别是椭圆的左焦点和右顶点，$P$是椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{PF}·\overrightarrow{PA}$的最大值为$$_________$$.

答案： 典例6 4