《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现] (2024·全国甲卷) 已知双曲线的两个焦点分别为 $ (0,4),(0,-4) $，点 $ (-6,4) $ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(C)

A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ \sqrt{2} $

答案： 真题再现 C 根据焦点坐标可知$c = 4$，根据焦点在$y$轴上，可设双曲线的方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，由$\frac{16}{a^{2}}-\frac{36}{b^{2}}=1$得$\begin{cases}a = 2,\\b = 2\sqrt{3}\end{cases}$所以离心率$e=\frac{c}{a}=2$.故选C.

[教材呈现] (链接北师选择性必修一 P68A 组 T2(1)) 求适合下列条件的双曲线的标准方程：焦点 $ F_1(-2,0),F_2(2,0) $，一个顶点为 $ (1,0) $.
点评：这两题设问的方式略有区别，一个是求方程，一个是求离心率，但给出条件的方式是相似的，求解过程也是相似的，都需要先去确定 $ a $ 和 $ c $ 的值再进行求解.

答案： 答题卡作答：
根据题意，双曲线的两个焦点为 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(2,0)$，所以焦距 $2c = 4$，即 $c = 2$。
又因为双曲线的一个顶点为 $(1,0)$，所以实轴长 $2a = 2$（距离原点的距离），即 $a = 1$（顶点到原点的距离是$a$，且$a\lt c$，符合双曲线性质）。
根据双曲线的标准方程 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $b^2 = c^2 - a^2$。
代入 $a = 1$，$c = 2$，得到 $b^2 = 2^2 - 1^2 = 3$。
所以双曲线的标准方程为 $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$。

1. 抛物线的定义

抛物线的定义：平面内与一个定点 $ F $ 和一条定直线 $ l $($ l $ 不经过点 $ F $)的距离相等的点的轨迹.
焦点：点F叫作抛物线的焦点.
准线：直线l叫作抛物线的准线.
[微提醒] 当定点 $ F \in l $ 时，轨迹为过定点 $ F $ 与定直线 $ l $ 垂直的一条直线.

答案： 相等 点F 直线l

2. 抛物线的标准方程和简单几何性质

答案： $(\frac{p}{2},0)\ \ (-\frac{p}{2},0)\ \ (0,\frac{p}{2})$ $(0,-\frac{p}{2})\ \ x=-\frac{p}{2}\ \ x=\frac{p}{2}\ \ y=-\frac{p}{2}\ \ y=\frac{p}{2}$ x轴 y轴 向右 向左 向上 向下

1. (多选题)下列说法错误的是(BCD)

A.平面内与一个定点 $ F $ 和一条定直线 $ l $($ l $ 不经过点 $ F $)的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B.方程 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 表示的曲线是焦点在 $ x $ 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 $ (\frac{a}{4},0) $，准线方程是 $ x = -\frac{a}{4} $
C.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形
D.若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切

答案： 1.BCD