《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

作出下列函数的图象：
(1) y = -$\frac{2x - 3}{x - 3}$；
(2) y = ($\frac{1}{2}$)^{|x - 1|} - 1；
(3) y = |log₂(x + 1)|.

答案：
解:
(1)函数$y=-\frac{2x - 3}{x - 3}=-2-\frac{3}{x - 3}$,则其图象可看作由反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象，先向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到,其图象如图所示,
(2)设$h(x)=y=(\frac{1}{2})^{\left|x - 1\right|}-1$,其图象可看作由函数$y=(\frac{1}{2})^{\left|x\right|}$的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到,而$y=(\frac{1}{2})^{\left|x\right|}=\begin{cases} (\frac{1}{2})^{x},x\geqslant0\\ 2^{x},x＜0 \end{cases}$其图象可由$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象保留$x\geqslant0$时的图象,然后将该部分关于$y$轴对称得到,则$y=(\frac{1}{2})^{\left|x - 1\right|}-1$图象如图所示.
(3)设$t(x)=y=\left|\log_{2}(x + 1)\right|$,则其图象可由$y=\log_{2}x$的图象向左平移1个单位长度,再保留$x$轴上方部分不变，将$x$轴下方部分翻折到$x$轴上方得到,其图象如图所示.

典例 1 (1) (2024·全国甲卷) 函数$ f(x) = -x² + (e^x - e^{-x})sin x $在区间 [-2.8, 2.8] 的图象大致为 (B)


A.y
O x
B.y
O x
C.y
O x
D.y
O x

答案：
(1)由题知函数$f(x)$的定义域关于原点对称,$f(-x)=-(-x)^{2}+(e^{-x}-e^{x})\sin(-x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})\sin x=f(x)$,所以函数$f(x)$为偶函数,函数图象关于$y$轴对称,排除A、C;$f(1)=-1+(e-\frac{1}{e})\sin1 ＞-1+(e-\frac{1}{e})\sin\frac{\pi}{6}=-1+\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}＞0$,排除D.故选B.

(2) (2023·天津卷) 函数 f(x) 的图象如下图所示，则 f(x) 的解析式可能为 (D)

y
42-4 -2 O 2 4 x

A.f(x) = $\frac{5(e^x - e^{-x})}{x^2 + 2}$
B.f(x) = $\frac{5\sin x}{x^2 + 1}$
C.f(x) = $\frac{5(e^x + e^{-x})}{x^2 + 2}$
D.f(x) = $\frac{5\cos x}{x^2 + 1}$

答案：
(2)由图知:函数图象关于$y$轴对称,其为偶函数,且$f(-2)=f(2)＜0$,由$\frac{5\sin(-x)}{(-x)^{2}+1}=-\frac{5\sin x}{x^{2}+1}$且定义域为$\mathbf{R}$,即B中函数为奇函数，故排除B;当$x＞0$时$\frac{5(e^{x}-e^{-x})}{x^{2}+2}＞0$,$\frac{5(e^{x}+e^{-x})}{x^{2}+2}＞0$,即A、C中$(0,+\infty)$上函数值为正,故排除A、C.故选D.

(1) (2025·安徽合肥模拟) 函数 f(x) = $\frac{|x^2 - 4|}{x}$ 的图象大致是 (D)

A.
y
O x
B.
y
O x
C.
y
O x
D.
y
O x
(2) (2025·湖南长沙模拟) 已知函数 f(x) 的部分图象如图所示，则函数 f(x) 的解析式可能为 (A)

y
O x
A. f(x) = -$\frac{2x^2}{|x| - 1}$
B. f(x) = -$\frac{2x^2}{|x| + 1}$
C. f(x) = -$\frac{2x}{|x| - 1}$
D. f(x) = -$\frac{2|x|}{x^2 - 1}$

答案：
(1)由题知$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$,关于原点对称,且$f(-x)=\frac{\left|(-x)^{2}-4\right|}{-x}=-\frac{\left|x^{2}-4\right|}{x}=-f(x)$,故$f(x)$是奇函数,故A错误;当$x＞2$时,$f(x)=\frac{x^{2}-4}{x}=x-\frac{4}{x}$,又$y=x$是增函数,$y=-\frac{4}{x}$在$(2,+\infty)$上是增函数,故$f(x)=x-\frac{4}{x}$在$(2,+\infty)$上是增函数,故B、C错误.故选D.
(2)由图可知，图象对应的函数为偶函数，故排除C;由图可知，函数的定义域不是实数集,故排除B;由图可知,当$x\rightarrow+\infty$时,$y\rightarrow-\infty$,而对于D,当$x\rightarrow+\infty$时,$y\rightarrow0$,故排除D.故选A.