《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1) 当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

答案：
(1)当a=1时，f(x)=e^x - x - 1，则$f^\prime(x)=e^x - 1，$
又f
(1)=e - 2，所以切点坐标为(1,e - 2)，
所以切线方程为y - (e - 2)=(e - 1)(x - 1)，即(e - 1)x - y - 1=0.

(2) 若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 $0$，求实数 $a$ 的取值范围.

答案：
(2)因为f(x)的定义域为R，且$f^\prime(x)=e^x - a，$
若a≤0，则$f^\prime(x)＞0$对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；
若a＞0，令$f^\prime(x)＞0，$解得$x＞\ln a；$令$f^\prime(x)＜0，$解得x＜\ln a；可知f(x)在$(-∞,\ln a)$内单调递减，在$(\ln a,+∞)$内单调递增，则f(x)有极小值$f(\ln a)=a - a\ln a - a^3，$无极大值，
由题意可得：$f(\ln a)=a - a\ln a - a^3＜0，$即
$a^2 + \ln a - 1＞0，$
令$g(a)=a^2 + \ln a - 1，$a＞0，则$g^\prime(a)=2a + \frac{1}{a}＞0，$所以g(a)在(0,+∞)内单调递增，且g
(1)=0，不等式$a^2 + \ln a - 1＞0$等价于g(a)＞g
(1)，解得a＞1.
所以实数a的取值范围为(1,+∞).

3. 已知函数极值点或极值求参数的方法
根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组)，通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).

答案： 答题（如下以例题形式展示具体作答规范，假设题目给出函数及极值条件）：
假设题目：已知函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + ax + 2$在$x = 1$处取得极值，求$a$的值。
$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x + a$。
因为函数$f(x)$在$x = 1$处取得极值，所以$f^{\prime}(1)=0$。
将$x = 1$代入$f^{\prime}(x)$得：$3×1^{2}-6×1 + a=0$，
即$3 - 6+a=0$，
解得$a = 3$。
当$a = 3$时，$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x + 3=3(x - 1)^{2}$，
在$x = 1$两侧$f^{\prime}(x)\geqslant0$，不过在$x = 1$处导数为$0$，仍可认为函数在$x = 1$处取得极值（此处导数为$0$且函数单调性改变可视为极值点情况的一种边界考量，严格意义上需结合高阶导数等判断，但按本题要求符合极值点处导数为$0$的条件）。
综上，$a$的值为$3$。

(1) (2025·广东湛江模拟) 已知函数 $y = f(x)$，其导数 $f'(x)$ 的图象如图所示，则 $y = f(x)$ (D)

A.在 $(-\infty,0)$ 上为增函数
B.在 $x = 1$ 处取得极小值
C.在 $x = 0$ 处取得极大值
D.在 $(4,+\infty)$ 上为增函数

答案：
(1)D 由导函数$f^\prime(x)$的图象可知，函数f(x)在(-∞,-1)，(1,4)上单调递减，在(-1,1)，(4,+∞)上单调递增，在x=-1和x=4处取得极小值，在x=1处取得极大值，故A、B、C错误，D正确.故选D.

(2) (2025·八省适应性测试) 已知函数 $f(x)=a\ln x + \frac{b}{x} - x$.
①设 $a = 1$，$b = -2$，求曲线 $y = f(x)$ 的斜率为 $2$ 的切线方程；
②若 $x = 1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，求实数 $b$ 的取值范围.

答案： ②由题意可得f(x)定义域为(0,+∞)，$f^\prime(x)=\frac{a}{x} - \frac{b}{x^2} - 1=\frac{-x^2 + ax - b}{x^2}$
因为x=1是f(x)的极小值点，则$f^\prime(1)=-1 + a - b=0，$
所以a=b + 1，
则$f^\prime(x)=\frac{-x^2 + (b + 1)x - b}{x^2}=\frac{-(x - 1)(x - b)}{x^2}$
若b≤0时，令$f^\prime(x)＞0，$所以0＜x＜1，令f^\prime(x)＜0，所以x＞1，
则f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意.
若0＜b＜1时，令f^\prime(x)＞0，所以0＜x＜b或x＞1，
则f(x)在(b,1)上单调递增，在(0,b)，(1,+∞)上单调递减，
得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意.
若b=1，则$f^\prime(x)=\frac{-(x - 1)^2}{x^2}＜0，$f(x)在(0,+∞)上单调递减，无
极值，不满足题意.
若b＞1，令$f^\prime(x)＞0，$所以1＜x＜b，令$f^\prime(x)＜0，$
所以0＜x＜1或x＞b，
则f(x)在(1,b)上单调递增，在(0,1)，(b,+∞)上单调递减，
得x=1是f(x)的极小值点，满足题意.
所以x=1是f(x)的极小值点时，b＞1，
即实数b的取值范围为(1,+∞).

(1) (2022·全国乙卷) 函数 $f(x)=\cos x + (x + 1)\sin x + 1$ 在区间 $[0,2\pi]$ 的最小值、最大值分别为 (D)

A.$-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$
B.$-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}$
C.$-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} + 2$
D.$-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2} + 2$

答案： $(1)f(x)=\cos x+(x + 1)\sin x + 1，$x∈[0,2π]，
则$f^\prime(x)=-\sin x+\sin x+(x + 1)\cos x=(x + 1)\cos x.$令$f^\prime(x)=0，$解得x=-1(舍去)或$x=\frac{π}{2}$或$x=\frac{3π}{2}.$因为$f(\frac{π}{2})=\cos\frac{π}{2}+(\frac{π}{2}+1)\sin\frac{π}{2}+1=2+\frac{π}{2}，$$f(\frac{3π}{2})=\cos\frac{3π}{2}+(\frac{3π}{2}+1)\sin\frac{3π}{2}+1=-\frac{3π}{2}，$又$f(0)=\cos0+(0 + 1)\sin0 + 1=2，$$f(2π)=\cos2π+(2π+1)\sin2π+1=2，$所以$f(x)_{max}=f(\frac{π}{2})=2+\frac{π}{2}，$$f(x)_{min}=f(\frac{3π}{2})=-\frac{3π}{2}.$故选D.

(2) 函数 $f(x)=2x^3 - 6x^2 + m$ ($m$ 为常数) 在 $[-2,2]$ 上有最大值 $3$，则 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的最小值为 (A)

A.$-37$
B.$-5$
C.$1$
D.$5$

答案：
(2)由$f(x)=2x^3 - 6x^2 + m，$得$f^\prime(x)=6x^2 - 12x=6x(x - 2)，$故当x∈[-2,0)时，$f^\prime(x)＞0，$f(x)在区间[-2,0)上单调递增，当x∈(0,2]时，$f^\prime(x)≤0，$f(x)在区间[0,2]上单调递减，故当x=0时，f(x)取得最大值，即f
(0)=m=3，此时$f(x)=2x^3 - 6x^2 + 3.$当x∈[-2,0)，f(x)≥f(-2)=-37，当x∈(0,2]时，f(x)≥f
(2)=-5，故最小值为f(-2)=-37.故选A.