《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 函数 $ y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0) $ 的有关概念

答案： 1.$\frac{2\pi}{\omega}$

2. 用五点(画图)法画 $ y = A\sin(\omega x + \varphi) $ 一个周期内的简图
用五点(画图)法画$ y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0) $ 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

答案： 2.$\frac{0-\varphi}{\omega}$ $\frac{\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}$ $\frac{\pi-\varphi}{\omega}$ $\frac{\frac{3\pi}{2}-\varphi}{\omega}$ $\frac{2\pi-\varphi}{\omega}$

3. 函数 $ y = \sin x $ 的图象经变换得到 $ y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0) $ 的图象的两种途径

答案： 途径1（先平移后伸缩横坐标）：
1. 画出$y=\sin x$的图象；
2. 向左（右）平移$|\varphi|$个单位长度，得$y=\sin(x+\varphi)$的图象；
3. 横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}$倍（纵坐标不变），得$y=\sin(\omega x+\varphi)$的图象；
4. 纵坐标变为原来的$A$倍（横坐标不变），得$y=A\sin(\omega x+\varphi)$的图象。
途径2（先伸缩横坐标后平移）：
1. 画出$y=\sin x$的图象；
2. 横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}$倍（纵坐标不变），得$y=\sin\omega x$的图象；
3. 向左（右）平移$\frac{|\varphi|}{\omega}$个单位长度，得$y=\sin(\omega x+\varphi)$的图象；
4. 纵坐标变为原来的$A$倍（横坐标不变），得$y=A\sin(\omega x+\varphi)$的图象。

1. (多选题)下列说法中正确的是(AC)

A.由图象求解析式时，振幅 $ A $ 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的
B.利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致
C.函数 $ y = A\cos(\omega x + \varphi) $ 的最小正周期为 $ T $，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $ \frac{T}{2} $
D.将函数 $ y = 3\sin 2x $ 的图象向左平移 $ \frac{\pi}{4} $ 个单位长度后所得图象的解析式是 $ y = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $

答案： 1.AC

2. (链接北师必修二 P52B 组 T1，改编)已知函数 $ y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \pi) $ 的部分图象如图所示，则该函数的解析式为(A)


A.$ y = 4\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) $
B.$ y = 4\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $
C.$ y = 4\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) $
D.$ y = 4\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) $

答案： 2.A 显然$A = 4$，因为$\frac{T}{2}=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}$，所以$T = \pi$，所以$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2$，由$f(-\frac{\pi}{12}) = 4$，得$4\sin[2×(-\frac{\pi}{12})+\varphi]=4$，所以$-\frac{\pi}{6}+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$，即$\varphi=2k\pi+\frac{2\pi}{3},k\in Z$。因为$|\varphi|＜\pi$，所以$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，所以$f(x)=4\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$。故选A。