《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 等差数列的有关概念

答案： 2 同一个常数 $d$ $a_n - a_{n-1} = d$(常数)($n \geq 2$,$n \in \mathbf{N}_+$) $\frac{a+b}{2}$

2. 等差数列的有关公式
等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$ a_{1} $，公差为$ d $.

答案： $a_1 + (n - 1)d$ $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ $na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$

3. 等差数列的常用性质
(1) 若$\{ a_{n}\}$为等差数列，且$ k + l = m + n(k,l,m,n \in \mathbf{N}_{+}) $，则$a_k + a_l = a_m + a_n$.
(2) 若$\{ a_{n}\}$是等差数列，公差为$ d $，则$ a_{k} $，$ a_{k + m} $，$ a_{k + 2m} $，$·s(k,m \in \mathbf{N}_{+})$是公差为$md$的等差数列.
(3) 等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和为$ S_{n} $，$\left\{ \dfrac {S_{n}}{n}\right\}$为等差数列，数列$ S_{m} $，$ S_{2m} - S_{m} $，$ S_{3m} - S_{2m} $，$·s$也是等差数列.
(4) 若等差数列的项数为$ 2n - 1(n \in \mathbf{N}_{+}) $，则$ S_{2n - 1} = $$(2n - 1)a_n$，且$ S_{奇} - S_{偶} = a_{n} $，$ S_{奇} = na_{n} $，$ S_{偶} = (n - 1)a_{n} $，$\dfrac {S_{奇}}{S_{偶}} = \dfrac {n}{n - 1} $.
若等差数列项数为$ 2n $，则$ S_{偶} - S_{奇} = nd $，$\dfrac {S_{奇}}{S_{偶}} = \dfrac {a_{n}}{a_{n + 1}} $.

答案：
(1)$a_k + a_l = a_m + a_n$
(2)$md$
(4)$(2n - 1)a_n$

4. 等差数列与函数的关系
(1) 等差数列$\{ a_{n}\}$的通项公式可变形为$ a_{n} = dn + (a_{1} - d) $，当$ d \neq 0 $时，它是关于$ n $的一次函数，它的图象是$ y = dx + (a_{1} - d) $上横坐标为正整数的等间隔的点.
当$ d ＞ 0 $时，$\{ a_{n}\}$是递增数列；当$ d ＜ 0 $时，$\{ a_{n}\}$是递减数列；当$ d = 0 $时，$\{ a_{n}\}$是常数列.
(2) 前$ n $项和公式可以变形为$ S_{n} = \dfrac {d}{2}n^{2} + \left( a_{1} - \dfrac {d}{2}\right)n $，当$ d \neq 0 $时，它是关于$ n $的二次函数，它的图象是抛物线$ y = \dfrac {d}{2}x^{2} + \left( a_{1} - \dfrac {d}{2}\right)x $上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点. 若$ a_{1} ＞ 0 $，$ d ＜ 0 $，则$ S_{n} $存在最大值；若$ a_{1} ＜ 0 $，$ d ＞ 0 $，则$ S_{n} $存在最小值.
[微提醒] (1) 等差数列中$ d = \dfrac {a_{n} - a_{1}}{n - 1} = \dfrac {a_{n} - a_{m}}{n - m} $. (2) 推导等差数列前$ n $项和的方法为倒序相加法.

答案：
(1)递增 递减

1. (多选题) 下列说法中正确的是(BD)

A.若一个数列从第$ 2 $项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列
B.数列$\{ a_{n}\}$为等差数列的充要条件是对任意$ n \in \mathbf{N}_{+} $，都有$ 2a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} $
C.在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$ a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q} $，则$ m + n = p + q $
D.若无穷等差数列$\{ a_{n}\}$的公差$ d ＞ 0 $，则其前$ n $项和$ S_{n} $不存在最大值

答案： BD