《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (2024·北京卷)圆 $ x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 $ 的圆心到直线 $ x - y + 2 = 0 $ 的距离为(D)

A.$ \sqrt{2} $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 3\sqrt{2} $

答案： D　化圆的方程为标准方程，得$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10$，所以该圆的圆心$(1,-3)$到直线$x - y + 2 = 0$的距离为$\frac{\vert 1 - (-3) + 2\vert}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.故选D.

2. (2020·全国Ⅲ卷)点 $ (0,-1) $ 到直线 $ y = k(x + 1) $ 距离的最大值为(B)

A.$ 1 $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2 $

答案： B　设点$A(0,-1)$，直线$l:y = k(x + 1)$，由$l$恒过定点$B(-1,0)$，当$AB\perp l$时，点$A(0,-1)$到直线$y = k(x + 1)$的距离最大，最大值为$\sqrt{2}$.故选B.

1. 圆的定义与方程

[微提醒] 当$D^2 + E^2 - 4F ＞ 0$时，此方程表示的图形是圆；当$D^2 + E^2 - 4F = 0$时，此方程表示一个点$\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$；当$D^2 + E^2 - 4F ＜ 0$时，它不表示任何图形。

答案： 定点　定长　$(a,b)$ $r$

2. 点与圆的位置关系
已知点$M(x_0,y_0)$与圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，则点$M$与圆$C$的位置关系可利用点$M$与圆心$C$的距离与半径的大小关系进行判断：
(1)$|MC| ＞ r \Leftrightarrow M$在圆外，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＞ r^2 \Leftrightarrow M$在圆外。
(2)$|MC| = r \Leftrightarrow M$在圆上，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2 \Leftrightarrow M$在圆上。
(3)$|MC| ＜ r \Leftrightarrow M$在圆内，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＜ r^2 \Leftrightarrow M$在圆内。

答案：
(1)圆外　
(2)圆上　
(3)圆内

1. (多选题)判断下列结论正确的是(ABC)

A.确定圆的几何要素是圆心与半径
B.已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则以$AB$为直径的圆的方程是$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
C.若点$M(x_0,y_0)$在圆$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$外，则$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F ＞ 0$
D.方程$(x + a)^2 + (y + b)^2 = t^2(t \in \mathbf{R})$表示圆心为$(a,b)$，半径为$t$的圆

答案： $ABC$