《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 5 (1)已知圆台的上、下底面半径之比为 $ \dfrac{1}{2} $，侧面积为 $ 9\pi $，在圆台的内部有一球 $ O $，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球 $ O $ 的表面积为(C)

A.$ 3\pi $
B.$ 5\pi $
C.$ 8\pi $
D.$ 9\pi $

答案：

(1)设圆台的上底面半径为r,则下底面半径为2r,母线长为l,如图所示,作出圆台与球的轴截面.由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切,故$l=AD=AH+DG=r+2r=3r$.根据圆台的侧面积公式$S=(\pi r+2\pi r)l=9\pi$,可得$r=1$,所以球O的直径为$HG=\sqrt{AD^{2}-(DG-AH)^{2}}=2\sqrt{2}$,故球O的半径为$R=\sqrt{2}$,所以球O的表面积为$4\pi R^{2}=8\pi$.故选C.

(2)在正四棱锥 $ P - ABCD $ 中，$ PA = 5 $，$ AB = 6 $，则该四棱锥内切球的表面积是(C)

A.$ \dfrac{4\pi}{7} $
B.$ \dfrac{24\pi}{7} $
C.$ \dfrac{36\pi}{7} $
D.$ \dfrac{72\pi}{7} $

答案：

(2)过点P作PO⊥平面ABCD,则O为正方形ABCD的中心,连接OA,如图,因为AB = 6,所以$OA=3\sqrt{2}$,则$OP=\sqrt{PA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{25 - 18}=\sqrt{7}$,则四棱锥P - ABCD的体积$V=\frac{1}{3}×6×6×\sqrt{7}=12\sqrt{7}$,四棱锥P - ABCD的表面积$S=6×6+\frac{1}{2}×6×\sqrt{25 - 9}×4=84$.设四棱锥P - ABCD内切球的半径为r,内切球的球心为$O^{\prime}$,由$V=V_{O^{\prime}-ABP}+V_{O^{\prime}-BCP}+V_{O^{\prime}-CDP}+V_{O^{\prime}-ADP}+V_{O^{\prime}-ABCD}$,可得$V=\frac{1}{3}Sr$,即$12\sqrt{7}=\frac{1}{3}×84r$,解得$r=\frac{3\sqrt{7}}{7}$,故四棱锥P - ABCD内切球的表面积是$4\pi r^{2}=\frac{36\pi}{7}$.故选C.

对点练 5. (1)在三棱锥 $ S - ABC $ 中，$ SA \perp $ 平面 $ ABC $，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，且 $ SA = 3 $，$ AB = 4 $，$ AC = 5 $，若球 $ O $ 在三棱锥 $ S - ABC $ 的内部且与四个面都相切(称球 $ O $ 为三棱锥 $ S - ABC $ 的内切球)，则球 $ O $ 的表面积为(A)

A.$ \dfrac{16\pi}{9} $
B.$ \dfrac{4\pi}{9} $
C.$ \dfrac{32\pi}{27} $
D.$ \dfrac{16\pi}{81} $

答案：
(1)因为SA⊥平面ABC,∠ABC = 90°,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥AC,SA⊥BC,又BC⊥AB,SA∩AB = A,所以BC⊥平面SAB,所以BC⊥SB,所以△SAB,△ABC,△SAC,△SBC均为直角三角形,设球O的半径为r,则$V_{三棱锥S - ABC}=\frac{1}{3}(S_{\triangle SAB}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle SAC}+S_{\triangle SBC})· r$.而$V_{三棱锥S - ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×4=6$,$S_{\triangle SAB}=\frac{1}{2}· SA· AB=6$,$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC=6$,$S_{\triangle SAC}=S_{\triangle SBC}=\frac{1}{2}×3×5=\frac{15}{2}$,所以$\frac{1}{3}(6+6+\frac{15}{2}+\frac{15}{2})· r=6$,解得$r=\frac{2}{3}$,所以球O的表面积为$S=4\pi r^{2}=4\pi×(\frac{2}{3})^{2}=\frac{16\pi}{9}$.故选A.

(2)已知圆锥的底面半径为 $ 1 $，母线长为 $ 3 $，则该圆锥内半径最大的球的体积为$\frac{\sqrt{2}\pi}{3}$.
请完成课时测评 57

答案：

(2)易知半径最大的球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC = 2,AB = AC = 3,且点M为BC边上的中点,设内切球的球心为O.由于$AM=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt{2}$,故$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.设内切球的半径为r,则$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}AC· r=\frac{1}{2}×(3+2+3)× r=2\sqrt{2}$,解得$r=\frac{\sqrt{2}}{2}$,其体积$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{\sqrt{2}\pi}{3}$.

1. 与平面有关的基本事实及推论


(1) 与平面有关的基本事实
(2) 基本事实 2 的三个推论

[微提醒] 三点不一定能确定一个平面. 当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.

答案：
(1)与平面有关的基本事实
基本事实1：不在一条直线上
基本事实2：两个点
基本事实3：一个；一条
基本事实4：平行
两角相等或互补定理：相等或互补
(2)基本事实2的三个推论
推论1：一点
推论2：相交
推论3：平行