《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. (2025·河南开封期末)函数 $ f(x)=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right) $ $ (\omega＞0) $ 的最小正周期为 $ 2\pi $，则 $ \omega= $(A)

A.$ \frac{1}{2} $
B.1
C.2
D.4

答案： 3.A 因为$f(x)=\tan(\omega x+\frac{\pi}{6})(\omega＞0)$的最小正周期为$2\pi$，所以$f(x)$的最小正周期$T=\frac{\pi}{\omega}=2\pi$，解得$\omega=\frac{1}{2}$。故选A.

典例 1 (1)(2025·河南南阳模拟)函数 $ f(x)=4 \cos ^{4} x-4 \sin ^{4} x+1 $ 是(C)

A.最小正周期为 $ \pi $ 的奇函数
B.最小正周期为 $ \frac{\pi}{2} $ 的奇函数
C.最小正周期为 $ \pi $ 的偶函数
D.最小正周期为 $ \frac{\pi}{2} $ 的偶函数

答案： 典例1
(1)C
(1)因为$f(x)=4(\cos^{2}x - \sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x)+1 = 4\cos2x + 1$，由$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=4\cos(-2x)+1 = 4\cos2x + 1=f(x)$，又由$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，可得$f(x)$是最小正周期为$\pi$的偶函数。故选C.

(2)(2025·湖北武汉模拟)设函数 $ f(x)=\sin (x+\varphi)+\cos (x+\varphi) $ 对任意的 $ x(x \in \mathbf{R}) $ 均满足 $ f(-x)=f(x) $，则 $ \tan \varphi= $1.

答案：
(2)1
(2)因为$f(x)=\sin(x+\varphi)+\cos(x+\varphi)=\sqrt{2}\sin(x+\varphi+\frac{\pi}{4})$，又因为$f(-x)=f(x)$，所以函数$f(x)$为偶函数，即$\varphi+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，所以$\tan\varphi=\tan(\frac{\pi}{4}+k\pi)=1(k\in\mathbf{Z})$。

典例 2 (1)(2023·全国乙卷)已知函数 $ f(x)=\sin (\omega x+\varphi) $ 在区间 $ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right) $ 单调递增，直线 $ x=\frac{\pi}{6} $ 和 $ x=\frac{2\pi}{3} $ 为函数 $ y=f(x) $ 的图象的两条相邻对称轴，则 $ f\left(-\frac{5\pi}{12}\right)= $(D)

A.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 典例2
(1)D
(1)因为$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$在区间$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$单调递增，且$x=\frac{\pi}{6}$和$x=\frac{2\pi}{3}$是函数图象的两条相邻对称轴，所以$\frac{T}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，则$T=\pi,\omega=\frac{2\pi}{T}=2$。当$x=\frac{\pi}{6}$时，$f(x)$取得最小值，则$2×\frac{\pi}{6}+\varphi=2k\pi-\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，则$\varphi=2k\pi-\frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$，不妨取$k = 0$，得$\varphi=-\frac{5\pi}{6}$，$k\in\mathbf{Z}$，则$f(x)=\sin(2x-\frac{5\pi}{6})$，则$f(-\frac{5\pi}{12})=\sin(-\frac{5\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$。故选D.

(2)(2025·陕西西安模拟)已知函数 $ f(x)=2 \cos x · \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) $，则 $ y=f(x) $ 的图象(A)

A.关于直线 $ x=\frac{2\pi}{3} $ 对称
B.关于直线 $ x=\frac{5\pi}{6} $ 对称
C.关于 $ \left(\frac{\pi}{12}, \frac{1}{2}\right) $ 中心对称
D.关于 $ \left(-\frac{\pi}{12}, 0\right) $ 中心对称

答案： 典例2
(2)A
(2)$f(x)=2\cos x·\cos(x - \frac{\pi}{3})=2\cos x·(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x)=\cos^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x=\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{1}{2}$，对于A，$f(\frac{2\pi}{3})=\cos\pi+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$，函数$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{2\pi}{3}$对称，故A正确；对于B，$f(\frac{5\pi}{6})=\cos\frac{4\pi}{3}+\frac{1}{2}=0$，函数$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{5\pi}{6}$不对称，故B错误；对于C，$f(\frac{\pi}{12})=\cos(-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\neq\frac{1}{2}$，函数$f(x)$的图象关于$(\frac{\pi}{12},\frac{1}{2})$不成中心对称，故C错误；对于D，$f(-\frac{\pi}{12})=\cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，函数$f(x)$的图象关于$(-\frac{\pi}{12},\frac{1}{2})$中心对称，故D错误。故选A.

(1)(2025·江西南昌期末)已知函数 $ f(x)=\sin (x+\varphi)+\sqrt{3} \cos (x+\varphi) $ 是奇函数，则 $ \tan \varphi= $(D)
A. $ \frac{\sqrt{3}}{3} $
B. $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
C. $ \sqrt{3} $
D. $ -\sqrt{3} $
(2)(2025·陕西商洛模拟)函数 $ f(x)=2 \sin ^{2} \omega x-\cos ^{2} \omega x $ 的两条相邻的对称轴的距离为 $ \frac{\pi}{2} $，则下列说法正确的是(C)
A. $ f(x)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2} \cos 2x $
B. $ f(x) $ 的图象关于点 $ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right) $ 对称
C. $ f(x) $ 的图象关于直线 $ x=\frac{\pi}{2} $ 对称
D. $ f(x) $ 在 $ \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right] $ 上单调递增

答案： 对点练1.
(1)D
(2)C
(1)由$f(x)=\sin(x+\varphi)+\sqrt{3}\cos(x+\varphi)=2\sin(x+\varphi+\frac{\pi}{3})$，又函数为奇函数，则$\varphi+\frac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，解得$\varphi=-\frac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，所以$\tan\varphi=\tan(-\frac{\pi}{3}+k\pi)=-\tan\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$。故选D.
(2)由题知，$f(x)=2\sin^{2}\omega x - \cos^{2}\omega x=1 - \cos2\omega x-\frac{\cos2\omega x + 1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos2\omega x$，由两条相邻的对称轴的距离为$\frac{\pi}{2}$，得函数的最小正周期为$T=\frac{2\pi}{2\vert\omega\vert}=\pi$，解得$\omega=\pm1$，所以$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos(\pm2x)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos2x$，故A错误；因为$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos2x$，所以$f(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos\pi = 2$，所以$f(x)$的图象不关于点$(\frac{\pi}{2},\frac{1}{2})$对称，故B错误；当$x=\frac{\pi}{2}$时，$\cos2x=\cos\pi=-1$，$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称，故C正确；令$2k\pi\leqslant2x\leqslant\pi + 2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得$f(x)$的单调递增区间为$[k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi](k\in\mathbf{Z})$，所以$f(x)$在$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$上单调递增，在$[\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}]$上单调递减，所以$f(x)$在$[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上不具有单调性，故D错误。故选C.