《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. 数列 $ \{ a_{n} \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，若 $ a_{n} = \dfrac{1}{n(n + 1)} $，则 $ S_{5} $ 等于 (B)

A.$ 1 $
B.$ \dfrac{5}{6} $
C.$ \dfrac{1}{6} $
D.$ \dfrac{1}{30} $

答案： 3.B 因为$a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}，$所以$S_{5}=a_{1}+a_{2}+·s+a_{5}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+·s+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})=\frac{5}{6}. $故选B.

4. $ S_{n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{8} + ·s + \dfrac{n}{2^{n}} $ 等于 (B)

A.$ \dfrac{2^{n} - n - 1}{2^{n}} $
B.$ \dfrac{2^{n + 1} - n - 2}{2^{n}} $
C.$ \dfrac{2^{n} - n + 1}{2^{n}} $
D.$ \dfrac{2^{n + 1} - n + 2}{2^{n}} $

答案： 4.B 由$S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+·s+\frac{n}{2^{n}} ①，$得$\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2^{2}}+\frac{2}{2^{3}}+·s+\frac{n - 1}{2^{n}}+\frac{n}{2^{n + 1}} ②，$① - ②得，$\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+·s+\frac{1}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n + 1}}=\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n + 1}}=1-\frac{n + 2}{2^{n + 1}}=\frac{2^{n + 1}-n - 2}{2^{n + 1}}，$所以$S_{n}=\frac{2^{n + 1}-n - 2}{2^{n}}. $故选B.

(1) 求 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式；

答案：
(1)设等差数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$的公差为d，因为$a_{1}=S_{1}=1，$所以$\frac{S_{1}}{1}=1，$$\frac{S_{4}}{4}-\frac{S_{1}}{1}=3d，$即$\frac{10}{4}-1=3d，$$d=\frac{1}{2}，$所以$\frac{S_{n}}{n}=1+\frac{1}{2}(n - 1)，$即$S_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}。$当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=\frac{n(n + 1)}{2}-\frac{n(n - 1)}{2}=n，$当n = 1时，$a_{1}=1，$满足上式，所以$a_{n}=n。$

(2) 若 $ b_{n} = \begin{cases} a_{n}, n 为奇数, \\ \dfrac{1}{a_{n}a_{n + 2}}, n 为偶数, \end{cases} $ 求 $ \{ b_{n} \} $ 的前 $ 2n $ 项和 $ T_{2n} $.

答案：
(2)由
(1)知$b_{n}=\begin{cases}n,n$为奇数$\frac{n}{n(n + 2)},n$为偶数$\end{cases}，$则$T_{2n}=(b_{1}+b_{3}+b_{5}+·s+b_{2n - 1})+(b_{2}+b_{4}+b_{6}+·s+b_{2n})=(1 + 3 + 5+·s+2n - 1)+(\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+·s+\frac{1}{2n×(2n + 2)})=\frac{n(1 + 2n - 1)}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+·s+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n + 2})=n^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4n + 4}，$所以数列$\{b_{n}\}$的前2n项和为$T_{2n}=n^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4n + 4}。$

(1) 记 $ b_{n} = a_{2n} $，写出 $ b_{1} $，$ b_{2} $，并求数列 $ \{ b_{n} \} $ 的通项公式；

答案：
(1)因为$b_{n}=a_{2n}，$且$a_{1}=1，$$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n$为奇数$\\a_{n}+2,n$为偶数$\end{cases}，$所以$b_{1}=a_{2}=a_{1}+1=2，$$b_{2}=a_{4}=a_{3}+1=a_{2}+2+1=5。$因为$b_{n + 1}-b_{n}=a_{2n + 2}-a_{2n}=3，$所以数列$\{b_{n}\}$是以2为首项，3为公差的等差数列，$b_{n}=2+3(n - 1)=3n - 1,n\in N_{+}。$

(2) 求 $ \{ a_{n} \} $ 的前 $ 20 $ 项和.

答案：
(2)因为$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n$为奇数$\\a_{n}+2,n$为偶数$\end{cases}，$所以$k\in N_{+}$时，$a_{2k}=a_{2k - 1}+1 ①，$$a_{2k + 1}=a_{2k}+2 ②，$$a_{2k + 2}=a_{2k + 1}+1 ③，$所以①+②得$a_{2k + 1}=a_{2k - 1}+3，$即$a_{2k + 1}-a_{2k - 1}=3，$所以数列$\{a_{n}\}$的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

(1) 求 $ a_{n} $；

答案：
(1)因为$S_{n}=a_{n + 1}-1，$当n = 1时，$a_{1}=S_{1}=a_{2}-1，$由$a_{1}=1$可得$a_{2}=2，$当$n\geq2$时，$S_{n - 1}=a_{n}-1，$作差得$S_{n}-S_{n - 1}=a_{n + 1}-1-(a_{n}-1)，$即$2a_{n}=a_{n + 1},n\geq2，$又$\frac{a_{2}}{a_{1}}=2，$所以数列$\{a_{n}\}$是以1为首项，2为公比的等比数列，所以$a_{n}=2^{n - 1}。$

(2) 设 $ b_{n} = (-1)^{n}(a_{n} - 1) $，求数列 $ \{ b_{n} \} $ 的前 $ 2n $ 项和 $ T_{2n} $.

答案：
(2)由
(1)知$b_{n}=(-1)^{n - 1}(-1)^{n - 1}，$所以$b_{2n}=2^{2n - 1}-1,b_{2n - 1}=-2^{2n - 2}+1，$所以$b_{2n - 1}+b_{2n}=4^{n - 1}，$所以$T_{2n}=(b_{1}+b_{2})+(b_{3}+b_{4})+·s+(b_{2n - 1}+b_{2n})=1 + 4+·s+4^{n - 1}=\frac{1 - 4^{n}}{1 - 4}=\frac{4^{n}-1}{3}。$