《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}e^x, x ＜ 0, \\ 4x^3 - 6x^2 + 1, x \geq 0,\end{cases}$ 其中 $ e $ 为自然对数的底数，则函数 $ g(x) = 3[f(x)]^2 - 10 f(x) + 3 $ 的零点个数为( )

A.3
B.4
C.5
D.6

答案：

(1)当$x \geq 0$时，$f(x)=4x^{3}-6x^{2}+1$，$f'(x)=12x^{2}-12x$。当$0＜x＜1$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减；当$x＞1$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增，可得$f(x)$在$x=1$处取得最小值，最小值为$-1$，且$f(0)=1$。作出函数$y = f(x)$的图象如图所示。因为$g(x)=3[f(x)]^{2}-10f(x)+3$，令$t = f(x)$，由$g(x)=0$，可得$3t^{2}-10t + 3 = 0$，解得$t = 3$或$t=\frac{1}{3}$。当$t=\frac{1}{3}$，即$f(x)=\frac{1}{3}$时有3个解，则$g(x)$有3个零点；当$t = 3$，即$f(x)=3$时有1个解，则$g(x)$有1个零点。综上，$g(x)$共有4个零点，故选B。

(2) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}|\lg(-x)|, x ＜ 0, \\ x^2 - 6x + 4, x \geq 0,\end{cases}$ 若关于 $ x $ 的方程 $ [f(x)]^2 - b f(x) + 1 = 0 $ 有 8 个不同的实数根，则实数 $ b $ 的取值范围是 ______ .

答案：

(2)作出函数$f(x)$的图象如图所示。令$t = f(x)$，则关于$x$的方程$[f(x)]^{2}-bf(x)+1=0$有8个不同的实数根等价于方程$t^{2}-bt + 1 = 0$在$(0,4]$上有2个不同的正根，所以$\begin{cases}0＜\frac{b}{2}＜4\\\Delta = b^{2}-4＞0\\4^{2}-4b + 1\geq0\\0^{2}-b×0 + 1＞0\end{cases}$，解得$2＜b\leq\frac{17}{4}$，则实数$b$的取值范围是$(2,\frac{17}{4}]$。

(1) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}2x - 1, x \leq 1, \\ |\ln(x - 1)|, x ＞ 1,\end{cases}$ 则方程 $ f(f(x)) = 1 $ 的根的个数为( )

A.7
B.5
C.3
D.2

答案：

(1)令$u = f(x)$，先解方程$f(u)=1$。①当$u\leq1$时，则$f(u)=2u - 1 = 1$，得$u_{1}=1$。②当$u＞1$时，则$f(u)=|\ln(u - 1)| = 1$，即$\ln(u - 1)=\pm1$，解得$u_{2}=1+\frac{1}{e}$，$u_{3}=1 + e$。作出函数$f(x)$的图象，如图。直线$u = 1$，$u=1+\frac{1}{e}$，$u = 1 + e$与函数$u = f(x)$图象的交点个数分别为3，2，2，所以方程$f(f(x)) = 1$的根的个数为$3 + 2 + 2 = 7$。故选A。

(2) 设函数 $ f(x) = x^2 + 2x $，$ g(x) = \begin{cases}x + \frac{1}{x}, x ＞ 0, \\ -x^2 + 3, x \leq 0,\end{cases}$ 若函数 $ h(x) = g(f(x)) - a $ 有 6 个不同的零点，则实数 $ a $ 的取值范围为 ______ .

答案：

(2)函数$h(x)$的零点即为方程$h(x)=0$的解，也即$g(f(x))=a$的解。令$t = f(x)$，则原方程的解变为方程组$\begin{cases}t = f(x)\\g(t)=a\end{cases}$的解。作出函数$y = f(x)$和直线$y = t$的图象如图①所示，作出$y = g(x)$的图象如图②所示。由图可知，当$t＞-1$时，有两个不同的$x$与之对应；当$t = -1$时，有一个$x$与之对应；当$t＜-1$时，没有$x$与之对应。由$\begin{cases}t = f(x)\\g(t)=a\end{cases}$有6个不同的解知，需要方程②有三个不同的$t$，且都大于$-1$。作出函数$y = g(t)$和直线$y = a$的图象如图②所示，当$a\in(2,3]$时满足要求。综上，实数$a$的取值范围为$(2,3]$。

(1) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}x^2 + 2x - 3, x \leq 0, \\ \log_2 x - 2, x ＞ 0,\end{cases}$ 则方程 $ f(f(x)) = k $ 的实数根的个数至多是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
(2) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}2^x, x \leq 0, \\ \ln x, x ＞ 0,\end{cases}$ $ g(x) = |x(x - 2)| $，若方程 $ f(g(x)) + g(x) - m = 0 $ 的所有实根之和为 4，则实数 $ m $ 的取值范围是 ______ .

答案：

(1)设$t = f(x)$，则$f(f(x))=k$化为$f(t)=k$。又$f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x - 3,x\leq0\\\log_{2}x - 2,x＞0\end{cases}$，所以$f(0)= - 3 = f( - 2)=f(\frac{1}{2})$，$f(-1)= - 4 = f(\frac{1}{4})$，函数$f(x)$的大致图象如图所示。由图可得，当$k＞-3$时，$f(t)=k$有两个根$t_{1}$，$t_{2}$，且$t_{1}＜-2$，$t_{2}＞\frac{1}{2}$，即$f(x)＜ - 2$或$f(x)＞\frac{1}{2}$，此时方程$f(f(x))=k$最多有5个根；当$-4＜k\leq - 3$时，$f(t)=k$有三个根$t_{1}$，$t_{2}$，$t_{3}$，且$-2\leq t_{1}＜-1$，$-1＜t_{2}\leq0$，$\frac{1}{4}＜t_{3}\leq\frac{1}{2}$，即$-2\leq f(x)＜ - 1$或$-1＜f(x)＜0$或$\frac{1}{4}＜f(x)\leq\frac{1}{2}$，此时方程$f(f(x))=k$最多有6个根；当$k = - 4$时，$f(t)=k$有两个根$t_{1}$，$t_{2}$，且$t_{1}= - 1$，$t_{2}=\frac{1}{4}$，即$f(x)= - 1$或$f(x)=\frac{1}{4}$，此时方程$f(f(x))=k$有4个根；当$k＜-4$时，$f(t)=k$有一个根$t$，且$0＜t＜\frac{1}{4}$，即$0＜f(x)＜\frac{1}{4}$，此时方程$f(f(x))=k$有2个根。综上，方程$f(f(x))=k$的实数根的个数至多为6，故选B。
(2)令$t = g(x)$，$t\geq0$，则$f(t)+t - m = 0$，即$f(t)=m - t$。在同一平面直角坐标系中作出$y = f(t)$与$y = m - t$的图象如图①所示，作出$y = g(x)$的图象如图②所示。由图可知，当$m＞1$时，$y = f(t)$与$y = m - t$的图象有1个交点，设交点横坐标为$t_{1}$，则$t_{1}＞1$，由$t_{1}=g(x)$，结合图②可知，此时$y = t_{1}$与$y = g(x)$的图象有2个交点，即原方程有2个实根，且两根之和为2，不符合题意；当$m = 1$时，$y = f(t)$与$y = m - t$的图象有2个交点，设交点横坐标为$t_{2}$，$t_{3}$，且有$t_{2}=0$，$t_{3}=1$，结合图②可知，由$t_{2}=g(x)$，得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$，由$t_{3}=g(x)$，得$x_{3}=1$，$x_{4}+x_{5}=2$，故原方程有5个实根，且5根之和为5，不符合题意；当$m＜1$时，$y = f(t)$与$y = m - t$的图象有2个交点，设交点横坐标为$t_{4}$，$t_{5}$，且有$t_{4}＜0$，$t_{5}＜1$，结合图②可知，当$t_{4}=g(x)$时无解，当$t_{5}=g(x)$时，$y = t_{5}$与$y = g(x)$的图象有4个交点，即原方程有4个实根，且4根之和为4，符合题意。综上，实数$m$的取值范围为$(-\infty,1)$。