《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. 对勾函数、飘带函数

答案： 2.$\{x \mid x \neq 0\}$ $\{x \mid x \neq 0\}$ $\left(-\infty, -\sqrt{\frac{b}{a}}\right),\left(\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty\right)$ $\left(-\sqrt{\frac{b}{a}},0\right),\left(0, \sqrt{\frac{b}{a}}\right)$ 奇 $x = 0$

3. 一次分式函数、高斯函数

答案： 3.$\{x \mid x \neq -\frac{b}{a}\}$
(2)$\left(-\frac{b}{a}, \frac{c}{a}\right)$

4. 最值函数、狄利克雷函数 $ D(x) = \begin{cases} 1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \notin \mathbf{Q} \end{cases} $
(1) 设 $ \min \{ a, b \} = \begin{cases} a, a \leq b, \\ b, a ＞ b, \end{cases} $ $ \max \{ a, b \} = \begin{cases} a, a \geq b, \\ b, a ＜ b. \end{cases} $ 直观上来说 $ \min \{ a, b \} $ 的作用就是求 $ a $，$ b $ 的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，$ \max \{ a, b \} $ 用来表示 $ a $，$ b $ 的最大值，称作最大值函数。
(2) 狄利克雷函数的性质
① 定义域 $ \mathbf{R} $；值域 $ \{ 0, 1 \} $。② 奇偶性：偶函数。
③ 周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期。
④ 无法画出函数的图象，但其图象客观存在。

答案：
(1)
①对于最小值函数$\min\{a,b\}$：
设$a,b\in R$，当$a\leq b$时，$\min\{a,b\}=a$；当$a ＞ b$时，$\min\{a,b\}=b$。
②对于最大值函数$\max\{a,b\}$：
设$a,b\in R$，当$a\geq b$时，$\max\{a,b\}=a$；当$a ＜ b$时，$\max\{a,b\}=b$。
(2)
①狄利克雷函数$D(x)=\begin{cases}1,x\in\mathbf{Q}\\0,x\notin\mathbf{Q}\end{cases}$，定义域为$\mathbf{R}$，值域为$\{0,1\}$。
②奇偶性：
因为$D(-x)=\begin{cases}1,-x\in\mathbf{Q}\\0,-x\notin\mathbf{Q}\end{cases}=\begin{cases}1,x\in\mathbf{Q}\\0,x\notin\mathbf{Q}\end{cases}=D(x)$，所以$D(x)$是偶函数。
③周期性：
设$T$为正有理数，对于任意$x\in\mathbf{R}$，若$x\in\mathbf{Q}$，则$x + T\in\mathbf{Q}$，$D(x+T)=1=D(x)$；若$x\notin\mathbf{Q}$，则$x + T\notin\mathbf{Q}$，$D(x + T)=0=D(x)$。所以任意正有理数$T$都是$D(x)$的周期，且无最小正周期。
④由于有理数和无理数的分布特点，无法画出狄利克雷函数$D(x)$的图象，但其图象客观存在。