《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题) 下列说法中正确的是(CD)

A.平面内到点 $ F_1(0,4),F_2(0,-4) $ 的距离之差的绝对值等于 $ 8 $ 的点的轨迹是双曲线
B.方程 $ \dfrac{x^2}{m} - \dfrac{y^2}{n} = 1(mn\gt0) $ 表示焦点在 $ x $ 轴上的双曲线
C.双曲线 $ \dfrac{x^2}{m^2} - \dfrac{y^2}{n^2} = 1(m\gt0,n\gt0) $ 的渐近线方程是 $ \dfrac{x}{m} \pm \dfrac{y}{n} = 0 $
D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 $ \sqrt{2} $

答案： 1.CD

2. (多选题) (链接人 A 选择性必修一 P121T3) 若方程 $ \dfrac{x^2}{3 - t} + \dfrac{y^2}{t - 1} = 1 $ 所表示的曲线为 $ C $，则下面四个结论中正确的是(BC)

A.若 $ C $ 为椭圆，则 $ 1\lt t\lt3 $
B.若 $ C $ 为双曲线，则 $ t\gt3 $ 或 $ t\lt1 $
C.曲线 $ C $ 可能是圆
D.若 $ C $ 为椭圆，且长轴在 $ y $ 轴上，则 $ 1\lt t\lt2 $

答案： 2.BC 若$C$为椭圆，则有$\begin{cases}t - 1＞0,\\3 - t＞0,\\3 - t\neq t - 1\end{cases}$，解得$1＜t＜3$且$t\neq2$，故A不正确；若$C$为双曲线，则$(3 - t)(t - 1)＜0$，解得$t＜1$或$t＞3$，故B正确；当$3 - t = t - 1＞0$，即$t = 2$时，曲线$C$可表示圆，故C正确；若$C$为椭圆，且长轴在$y$轴上，则$t - 1＞3 - t＞0$，解得$2＜t＜3$，故D不正确.故选BC.

3. (易错题) (链接北师选择性必修一 P68T4) 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为 $ \sqrt{3} $，则双曲线的离心率为 $\boldsymbol{$2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$}$.

答案： 3.$2$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 若双曲线的焦点在$x$轴上，有$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，则$c = 2a$，此时$e = 2$.若双曲线的焦点在$y$轴上，有$\frac{a}{b}=\sqrt{3}$，则$c=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，此时$e=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.综上，$e = 2$或$e=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

4. (链接北师选择性必修一 P68A 组 T3) (2020·北京卷) 已知双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{y^2}{3} = 1 $，则 $ C $ 的右焦点的坐标为 $\boldsymbol{$$(3,0)$$}$；$ C $ 的焦点到其渐近线的距离是 $\boldsymbol{$$\sqrt{3}$$}$.

答案： 4.$(3,0)$ $\sqrt{3}$ 由$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$，得$c^{2}=a^{2}+b^{2}=9$，解得$c = 3$，又焦点在$x$轴上，所以双曲线$C$的右焦点坐标为$(3,0)$.双曲线的一条渐近线方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}x$，即$x-\sqrt{2}y = 0$，所以焦点$(3,0)$到渐近线的距离为$d=\frac{3}{\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}}=\sqrt{3}$.

典例 1 (1) 已知定点 $ F_1(-2,0),F_2(2,0) $，$ N $ 是圆 $ O:x^2 + y^2 = 1 $ 上任意一点，点 $ F_1 $ 关于点 $ N $ 的对称点为 $ M $，线段 $ F_1M $ 的中垂线与直线 $ F_2M $ 相交于点 $ P $，则点 $ P $ 的轨迹是(B)

A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆

答案：

(1)B 如图，连接$ON$，由题意可得$|ON| = 1$，且$N$为$MF_{1}$的中点，$O$为$F_{1}F_{2}$的中点，所以$|MF_{2}| = 2$.因为点$F_{1}$关于点$N$的对称点为$M$，线段$FM$的中垂线与直线$F_{2}M$相交于点$P$，由垂直平分线的性质可得$|PM| = |PF_{1}|$，所以$\left||PF_{2}|-|PF_{1}|\right|=\left||PF_{2}|-|PM|\right|=\left|MF_{2}\right|=2＜\left|F_{1}F_{2}\right|$，所以由双曲线的定义可得，点$P$的轨迹是以$F_{1},F_{2}$为焦点的双曲线.故选B.