《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

对点练 2. 已知偶函数$f(x)$满足$f(x + 2) = f(x)$，且当$x \in [0,1]$时，$f(x) = \cos \frac{\pi}{2}x$，则$x \in [2025,2026]$时，$f(x)$的解析式为 (D)

A.$f(x) = \sin \frac{\pi}{2}x$
B.$f(x) = -\sin \frac{\pi}{2}x$
C.$f(x) = \cos \frac{\pi}{2}x$
D.$f(x) = -\cos \frac{\pi}{2}x$

答案： 对点练2.D 设x∈[-1, 0]，则 -x∈[0, 1]，所以f(-x) = $\cos(-\frac{\pi}{2}x)=\cos\frac{\pi}{2}x$，因为f(x)为偶函数，所以f(x) = f(-x) = $\cos\frac{\pi}{2}x$，x∈[-1, 0]。因为f(x + 2) = f(x)，所以函数f(x)的周期为2。设x∈[2025, 2026]，则x - 2026∈[-1, 0]，所以f(x) = f(x - 2026) = $\cos[\frac{\pi}{2}(x - 2026)]=\cos(\frac{\pi}{2}x - 1013\pi)=-\cos\frac{\pi}{2}x$，x∈[2025, 2026]。故选D。

典例 3 (1)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点$(-1,0)$成中心对称的是 (B)

A.$y = (x - 1)f(x - 1)$
B.$y = (x + 1)f(x + 1)$
C.$y = xf(x) + 1$
D.$y = xf(x) - 1$

答案：
(1)构造函数g(x) = xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(-x) = -xf(-x) = -xf(x) = -g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点。对于A，函数y = (x - 1)f(x - 1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y = (x - 1)f(x - 1)图象的对称中心为(1, 0)；对于B，函数y = (x + 1)f(x + 1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y = (x + 1)f(x + 1)图象的对称中心为(-1, 0)；对于C，函数y = xf(x) + 1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y = xf(x) + 1图象的对称中心为(0, 1)；对于D，函数y = xf(x) - 1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y = xf(x) - 1图象的对称中心为(0, -1)。故选B。

(2)(多选题)已知定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)$满足$f(-x) + f(x) = 0$，且$f(1 - x) = f(1 + x)$，则下列结论一定正确的是 (BC)

A.$f(x + 2) = f(x)$
B.函数$y = f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称
C.函数$y = f(x + 1)$是偶函数
D.$f(2 - x) = f(x - 1)$

答案：
(2)对于A，因为f(-x) + f(x) = 0，且f(1 - x) = f(1 + x)，则f(1 + (1 + x)) = f(1 - (1 + x))，即f(-x) = f(x + 2)，则f(x + 2) = -f(x)，故A错误；对于B，因为f(x + 2) = -f(x)，则f(x + 4) = -f(x + 2) = f(x)，因为f(-x) + f(x) = 0，则f(-(2 + x)) + f(2 + x) = 0，即f(2 + x) = -f(-2 - x) = -f(2 - x)，即f(2 + x) + f(2 - x) = 0，故函数y = f(x)的图象关于点(2, 0)对称，故B正确；对于C，因为f(1 - x) = f(1 + x)，故函数y = f(x + 1)是偶函数，故C正确；对于D，因为f(1 - x) = f(1 + x)，没有条件能说明f(x) = f(x - 1)，故D错误。故选BC。

对点练 3. (1)若定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(2 - x) = f(x)$，在区间$(0,1)$上，有$(x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)] \geq 0$，则下列说法正确的是 (C)

A.函数$f(x)$的图象关于点$(1,0)$中心对称
B.函数$f(x)$的图象关于直线$x = 2$轴对称
C.在区间$(2,3)$上，$f(x)$单调递减
D.$f(-\frac{7}{2}) ＞ f(\frac{2}{3})$

答案：
(1)f(4 - x) = f(2 - (x - 2)) = f(x - 2) = -f(2 - x) = -f(x)，即f(4 - x) + f(x) = 0，故f(x)的图象关于点(2, 0)中心对称。因为f(2 - x) = f(x)，则f(x)的图象关于直线x = 1轴对称，故A、B错误；根据题意可得，f(x)在(0, 1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x = 1轴对称，关于点(2, 0)中心对称，则f(x)在(2, 3)上单调递减，故C正确；又因为f(x) = f(2 - x) = -f(x - 2)，则f(x + 4) = -f(x + 2) = f(x)，可知f(x)的周期为4，则f(-$\frac{7}{2}$) = f($\frac{1}{2}$) ＜ f($\frac{2}{3}$)，故D错误。故选C。

(2)(多选题)(2025·河南驻马店模拟)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，函数$F(x) = f(1 + x) - (1 + x)$为偶函数，函数$G(x) = f(2 + 3x) - 1$为奇函数，则 (ABD)

A.函数$f(x)$的一个对称中心为$(2,1)$
B.$f(0) = -1$
C.函数$f(x)$为周期函数，且一个周期为$4$
D.$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 6$

答案：
(2)对于A，由函数G(x) = f(2 + 3x) - 1为奇函数，故f(2 + 3x) - 1 = -f(2 - 3x) + 1，即f(2 + 3x) + f(2 - 3x) = 2，即f(2 + x) + f(2 - x) = 2，故函数f(x)的一个对称中心为(2, 1)，故A正确；对于B，由f(2 + x) + f(2 - x) = 2，令x = 0，则f
(2) + f
(2) = 2，即f
(2) = 1，由函数F(x) = f(1 + x) - (1 + x)为偶函数，故f(1 + x) - (1 + x) = f(1 - x) - (1 - x)，即f(1 + x) = f(1 - x) + 2x，令x = -1，则f
(0) = f
(2) - 2 = 1 - 2 = -1，故B正确；对于C，由函数f(x)的一个对称中心为(2, 1)，f
(0) = -1，则f
(4) = 3，即f
(0) ≠ f
(4)，故函数f(x)不以4为周期，故C错误；对于D，由f(2 + x) + f(2 - x) = 2，令x = 1，有f
(3) + f
(1) = 2，由f
(2) = 1，f
(4) = 3，故f
(1) + f
(2) + f
(3) + f
(4) = 6，故D正确。故选ABD。

典例 4 (2025·北京大兴模拟)已知函数$f(x)$对任意$x \in \mathbf{R}$都有$f(x + 2) = -f(x)$，且$f(-x) = -f(x)$，当$x \in (-1,1]$时，$f(x) = x^3$。则下列结论正确的是 (D)

A.函数$y = f(x)$的图象关于点$(k,0)(k \in \mathbf{Z})$对称
B.函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 2k(k \in \mathbf{Z})$对称
C.当$x \in [2,3]$时，$f(x) = (x - 2)^3$
D.函数$y = |f(x)|$的最小正周期为$2$

答案：
典例4 D 因为f(x + 2) = -f(x)，所以f(x) = -f(x - 2)，故f(x + 2) = f(x - 2)，所以f(x)的周期为4，又f(-x) = -f(x)，所以f(-x) = f(x - 2)，故f(x)关于x = -1对称，又当x∈(-1, 1]时，f(x) = x²，故画出f(x)的部分图象如下：

对于A，函数y = f(x)的图象不关于点(1, 0)中心对称，故A错误；对于B，函数y = f(x)的图象不关于直线x = 2对称，故B错误；对于C，当x∈[2, 3]时，x - 2∈[0, 1]，则f(x) = -f(x - 2) = -(x - 2)²，故C错误；对于D，由图象可知y = f(x)的最小正周期为4，又|f(x + 2)| = |-f(x)| = |f(x)|，故y = |f(x)|的最小正周期为2，故D正确。故选D。

对点练 4. (多选题)已知$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，其函数图象关于直线$x = -3$对称，且$f(x + 3) = f(x - 3)$，若当$x \in [0,3]$时，$f(x) = 4^x + 2x - 11$，则下列结论正确的是 (ACD)

A.$f(x)$为偶函数
B.$f(x)$在$[-6, -3]$上单调递减
C.$f(x)$关于$x = 3$对称
D.$f(100) = 9$
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答案： 对点练4.ACD f(x)的图象关于x = -3对称，则f(-x) = f(x - 6)，又f(x + 3) = f(x - 3)，则f(x)的周期T = 6，所以f(-x) = f(x - 6) = f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0, 3]时，f(x) = 4^x + 2x - 11单调递增，因为T = 6，故f(x)在[-6, -3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x = -3对称且T = 6，所以f(x)关于x = 3对称，故C正确；f
(100) = f(16×6 + 4) = f
(4) = f(-2) = f
(2) = 9，故D正确。故选ACD。