《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 三角函数的诱导公式

答案： | 角 | 正弦 | 余弦 | 正切 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\alpha + 2k\pi (k \in \mathbf{Z})$ | $\sin \alpha$ | $\cos \alpha$ | $\tan \alpha$ |
| $-\alpha$ | $-\sin \alpha$ | $\cos \alpha$ | $-\tan \alpha$ |
| $\alpha + \pi$ | $-\sin \alpha$ | $-\cos \alpha$ | $\tan \alpha$ |
| $\alpha - \pi$ | $-\sin \alpha$ | $-\cos \alpha$ | $\tan \alpha$ |
| $\pi - \alpha$ | $\sin \alpha$ | $-\cos \alpha$ | $-\tan \alpha$ |
| $\alpha + \frac{\pi}{2}$ | $\cos \alpha$ | $-\sin \alpha$ | $-\frac{1}{\tan \alpha}$ |
| $\frac{\pi}{2} - \alpha$ | $\cos \alpha$ | $\sin \alpha$ | $\frac{1}{\tan \alpha}$ |
口诀：奇变偶不变，符号看象限。

2. 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$。
(2)商数关系：$\tan\alpha=$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$(\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z})$。

答案： $2.(1)\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1 (2)\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

1. (多选题)下列说法错误的是(ACD)

A.若$\alpha,\beta$为锐角，则$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta = 1$
B.$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$成立的条件是$\alpha$为任意角
C.若$\alpha\in\mathbf{R}$，则$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$恒成立
D.若$\sin(k\pi-\alpha)=\frac{1}{3}(k\in\mathbf{Z})$，则$\sin\alpha=\frac{1}{3}$

答案： 1.ACD

2. (链接北师必修二P24例8，改编)$\cos540^{\circ}$的值为(C)

A.1
B.0
C.$-1$
D.不存在

答案： $2.C \cos540^{\circ}=\cos(540^{\circ}-360^{\circ})=\cos180^{\circ}=-1. $故选C.

3. (链接北师必修二P150练习T4，改编)已知$\sin\alpha - 3\cos\alpha = 0$，则$3\sin\alpha·\cos\alpha=$(A)

A.$\frac{9}{10}$
B.$-\frac{9}{10}$
C.$\frac{10}{9}$
D.$-\frac{10}{9}$

答案： 3.A 由已知得$\tan\alpha = 3，$所以$3\sin\alpha·\cos\alpha=\frac{3\sin\alpha·\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{3\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1}=\frac{9}{10}. $故选A.

4. (链接北师必修二P25例9，改编)化简$\frac{\cos(\alpha-\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{5\pi}{2}+\alpha)}·\sin(\alpha-\pi)\cos(2\pi-\alpha)$的结果为$-\sin^{2}\alpha$。

答案： $4.-\sin^{2}\alpha $原式$=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(-\sin\alpha)\cos\alpha=-\sin^{2}\alpha.$

1. (2025·黑龙江大庆模拟)已知角$\alpha$的终边与单位圆的交点$P(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$，则$\sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=$(B)

A.$-\frac{4}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 1.B 因为角$\alpha$的终边与单位圆的交点$P(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})，$可知$\cos\alpha=\frac{3}{5}，$所以$\sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-\cos\alpha=-\frac{3}{5}. $故选B.

2. (多选题)(2025·陕西渭南模拟)下列化简正确的是(BC)

A.$\sin(2026\pi-\alpha)=\sin\alpha$
B.$\tan(\alpha - 2026\pi)=\tan\alpha$
C.$\sin(\frac{11\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha$
D.$\cos(\frac{9\pi}{2}-\alpha)=-\sin\alpha$

答案： 2.BC 由诱导公式可知，$\sin(2026\pi-\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin\alpha，$故A错误；$\tan(\alpha - 2026\pi)=\tan\alpha，$$\sin(\frac{11\pi}{2}+\alpha)=\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha，$故B,C正确；$\cos(\frac{9\pi}{2}-\alpha)=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha，$故D错误. 故选BC.

3. (2025·浙江杭州模拟)已知$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}),\sin(\alpha-\frac{\pi}{10})=\frac{1}{3}$，则$\cos(\alpha+\frac{2\pi}{5})=$(C)

A.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： $3.C \cos(\alpha+\frac{2\pi}{5})=\cos[(\alpha-\frac{\pi}{10})+\frac{\pi}{2}]=-\sin(\alpha-\frac{\pi}{10})=-\frac{1}{3}. $故选C.