《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2)由题设条件和正弦定理得
$\sqrt{2}b\sin C = c\sin 2B \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin B\sin C = 2\sin C\sin B\cos B$，⑤ [8 分]
又$B$，$C\in(0,\pi)$，则$\sin B\sin C \neq 0$，进而$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，得到$B = \dfrac{\pi}{4}$，⑥ [9 分]
于是$C = \pi - A - B = \dfrac{7\pi}{12}$，⑦ [10 分]
$\sin C = \sin(\pi - A - B) = \sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$，⑧ [11 分]
由正弦定理可得，$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$，即$\dfrac{2}{\sin\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{b}{\sin\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{c}{\sin\dfrac{7\pi}{12}}$，
解得$b = 2\sqrt{2}$，$c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，⑨ [12 分]
故$\triangle ABC$的周长为$2 + \sqrt{6} + 3\sqrt{2}$. ⑩ [13 分]

答案： 答题卡填入如下：
由题设条件和正弦定理得：
$\sqrt{2}b\sin C = c\sin 2B \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin B\sin C = 2\sin C\sin B\cos B$，
又因为 $B,C \in (0,\pi)$，则 $\sin B\sin C \neq 0$，
进而可得：
$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
得到：
$B = \frac{\pi}{4}$，
于是：
$C = \pi - A - B = \frac{7\pi}{12}$，
$\sin C = \sin(\pi - A - B) = \sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$
$ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$
由正弦定理可得：
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，
即：
$\frac{2}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{b}{\sin\frac{\pi}{4}} = \frac{c}{\sin\frac{7\pi}{12}}$，
解得：
$b = 2\sqrt{2}$，
$c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，
故 $\triangle ABC$ 的周长为：
$2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{（重复项合并）} = 2 + \sqrt{6} + 3\sqrt{2}$（或写成$2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$）。

策略三：已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解
策略四：利用式子的特点转化：如出现$a^{2} + b^{2} - c^{2} = \lambda ab$的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理

答案： 在解三角形问题时，通常有以下几种策略：
策略一：
若已知两角和一边或两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求边：
$a = \frac{b\sin A}{\sin B}, \quad b = \frac{a\sin B}{\sin A}, \quad c = \frac{a\sin C}{\sin A}$或其他相应变形公式求解。
策略二：
求角时，先求出正弦值，再求角，即利用公式：
$\sin A = \frac{a\sin B}{b}, \quad \sin B = \frac{b\sin A}{a}, \quad \sin C = \frac{c\sin A}{a}$求解。
策略三：
已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解。
余弦定理为：
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
策略四：
利用式子的特点转化：如出现 $a^2 + b^2 - c^2 = \lambda ab$ 的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理。

(1)(2019·全国Ⅰ卷)$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$. 已知$a\sin A - b\sin B = 4c\sin C$，$\cos A = -\dfrac{1}{4}$，则$\dfrac{b}{c} =$(A)
A. $6$
B. $5$
C. $4$
D. $3$
(2)(2024·全国甲卷理)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$B = \dfrac{\pi}{3}$，$b^{2} = \dfrac{9}{4}ac$，则$\sin A + \sin C =$(C)
A. $\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$
B. $\dfrac{\sqrt{39}}{13}$
C. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
D. $\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$

答案：
(1)A　
(2)C　
(1)由题意及正弦定理得，$b^{2}-a^{2}=-4c^{2}$，所以由余弦定理得，$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{-3c^{2}}{2bc}=-\frac{1}{4}$，得$\frac{b}{c}=6$.故选A.
(2)因为$B=\frac{\pi}{3}$，$b^{2}=\frac{9}{4}ac$，则由正弦定理得$\sin A\sin C=\frac{4}{9}\sin^{2}B=\frac{1}{3}$，由余弦定理可得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac=\frac{9}{4}ac$，即$a^{2}+c^{2}=\frac{13}{4}ac$，根据正弦定理得$\sin^{2}A+\sin^{2}C=\frac{13}{4}\sin A\sin C=\frac{13}{12}$，所以$(\sin A+\sin C)^{2}=\sin^{2}A+\sin^{2}C + 2\sin A\sin C=\frac{7}{4}$，因为A，C为三角形内角，则$\sin A+\sin C＞0$，则$\sin A+\sin C=\frac{\sqrt{7}}{2}$.故选C;

(1)(一题多变)(2025·天津河北联考)在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a^{2}\cos A\sin B = b^{2}\sin A\cos B$，则$\triangle ABC$的形状是(B)

A.等腰直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形

答案： B　
(1)已知等式利用正弦定理化简得$\sin A\cos A=\sin B\cos B$，所以$2\sin A\cos A = 2\sin B\cos B$，即$\sin2A=\sin2B$，所以$A + B=\frac{\pi}{2}$或$A = B$，所以$\triangle ABC$为等腰三角形或直角三角形.故选B.