《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 2 (1)(2025·江西景德镇模拟)高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作 $ [x] $，是指不超过实数 $ x $ 的最大整数，例如 $ [6.8] = 6 $，$ [-4.1] = -5 $，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域。若函数 $ f(x) = \log_2 (-x^2 + x + 2) $，则当 $ x \in [0, 1] $ 时，$ [f(x)] $ 的值域为(C)

A.$ \left[ 1, \log_2 \dfrac{9}{4} \right] $
B.$ \{ 1, 2 \} $
C.$ \{ 1 \} $
D.$ \{ 2 \} $

答案：
(1)C 由$-x^{2} + x + 2 ＞ 0$，得$(x + 1)(x - 2) ＜ 0$，解得$-1 ＜ x ＜ 2$，则$f(x)$的定义域为$\{x \mid -1 ＜ x ＜ 2\}$，当$x \in [0,1]$时，令$t = -x^{2} + x + 2$，函数$y = -x^{2} + x + 2$在$\left[0, \frac{1}{2}\right]$上单调递增，在$\left(\frac{1}{2},1\right]$上单调递减，又$u = \log_{2}t$在$(0, +\infty)$上单调递增，所以$f(x)$在$\left[0, \frac{1}{2}\right]$上单调递增，在$\left(\frac{1}{2},1\right]$上单调递减，所以$f(x)$的值域为$\left[1, \log_{2}\frac{9}{4}\right]$，又因为$1 = \log_{2}2 ＜ \log_{2}\frac{9}{4} ＜ \log_{2}4 = 2$，所以根据高斯函数定义可知$[f(x)]$的值域为$\{1\}$。故选C。

(2)(多选题)(2025·山东济南质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数 $ f(x) = \begin{cases}1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \in \complement_{\mathbf{R}} \mathbf{Q},\end{cases}$ 称为狄利克雷函数，则关于函数 $ f(x) $ 的叙述，正确的是( )

A.函数 $ y = f(x) $ 的图象是两条直线
B.$ f(f(x)) = 1 $
C.$ f(\sqrt{3}) ＞ f(1) $
D.$ \forall x \in \mathbf{R} $，都有 $ f(1 - x) = f(2 + x) $

答案：
(2)BD 对于A，函数$y = [f(x)]$的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；对于B，当$x$为有理数时，$f(x) = 1$，所以$f(f(x)) = f(1) = 1$，当$x$为无理数时，$f(x) = 0$，$f(f(x)) = f(0) = 1$，故B正确；对于C，$f(\sqrt{3}) = 0$，$f(1) = 1$，所以$f(1) ＞ f(\sqrt{3})$，故C错误；对于D，由题意，函数定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x) = f(x)$，所以$f(x)$为偶函数，取不为零的有理数$T$，若$x$是有理数，则$x + T$也是有理数；若$x$是无理数，则$x + T$也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数$T$，$f(x + T) = f(x)$对$\forall x \in \mathbf{R}$恒成立，故$f(x + 2) = f(x) = f(-x) = f(1 - x)$，所以$\forall x \in \mathbf{R}$，都有$f(1 - x) = f(2 + x)$，故D正确。故选BD。

对点练 2 (1) 已知狄利克雷函数 $ D(x) = \begin{cases}1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \notin \mathbf{Q},\end{cases}$ 则下列结论正确的是( )

A.$ D(x) $ 是偶函数
B.$ D(x) $ 是单调函数
C.$ D(x) $ 的值域为 $ [0, 1] $
D.$ D(\pi) ＞ D(3.14) $

答案：
(1)A 对于A，当$x \in \mathbf{Q}$时，显然$-x \in \mathbf{Q}$，此时恒有$D(x) = D(-x) = 1$，当$x \notin \mathbf{Q}$，此时$x$是无理数，此时恒有$D(x) = D(-x) = 0$，所以$D(x)$是偶函数，故A正确；对于B，因为$D(0) = D(1) = 1$，所以函数$D(x)$不是实数集上的单调函数，故B不正确；对于C，由函数的解析式，可知$D(x)$的值域为$\{0,1\}$，故C不正确；对于D，因为$D(\pi) = 0$，$D(3.14) = 1$，所以$D(\pi) ＜ D(3.14)$，故D不正确。故选A。

(2)(多选题)(2025·湖北名校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $ x \in \mathbf{R} $，用 $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，则 $ y = [x] $ 称为高斯函数，例如 $ [-2.1] = -3 $，$ [2.1] = 2 $，则下列说法正确的是(AC)

A.函数 $ y = x - [x] $ 在区间 $ [k, k + 1) $($ k \in \mathbf{Z} $)上单调递增
B.若函数 $ f(x) = \dfrac{\sin x}{e^x - e^{-x}} $，则 $ y = [f(x)] $ 的值域为 $ \{ 0 \} $
C.若函数 $ f(x) = |\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{1 - \sin 2x}| $，则 $ y = [f(x)] $ 的值域为 $ \{ 0, 1 \} $
D.$ x \in \mathbf{R} $，$ x \geq [x] + 1 $

答案：
(2)AC 对于A，$x \in [k,k + 1)$，$k \in \mathbf{Z}$，则$[x] = k$，则函数$y = x - [x] = x - k$在$[k,k + 1)$上单调递增，故A正确；对于B，$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{1}{e^{\frac{1}{e}} - e^{\frac{1}{e}}} = -1$，故B不正确；对于C，$f(x) = \sqrt{(\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{1 - \sin 2x})^{2}} = \sqrt{2 - 2|\cos 2x|} = \sqrt{2 - 2|\cos 2x|}$，当$0 \leq |\cos 2x| \leq \frac{1}{2}$时，$1 \leq 2 - 2|\cos 2x| \leq 2$，$1 \leq f(x) \leq \sqrt{2}$，有$[f(x)] = 1$，当$\frac{1}{2} ＜ |\cos 2x| \leq 1$时，$0 \leq 2 - 2|\cos 2x| ＜ 1$，$0 \leq f(x) ＜ 1$，有$[f(x)] = 0$，所以$y = [f(x)]$的值域为$\{0,1\}$，故C正确；对于D，当$x = 2$时，$[x] + 1 = 3$，有$2 ＜ [2] + 1$，故D不正确。故选AC。

典例 3 (多选题)(2025·江苏苏州模拟)定义 $ \min \{ x, y \} $ 表示 $ x $，$ y $ 中的最小者，设函数 $ f(x) = \min \{ x^2 - 3x + 3, 3 - |x - 3| \} $，则(ACD)

A.$ f(x) $ 有且仅有一个极小值点为 $ \dfrac{3}{2} $
B.$ f(x) $ 有且仅有一个极大值点为 3
C.$ \forall x \in (-\infty, 2] \cup [5, +\infty) $，$ f(x) \leq 1 $
D.$ \exists k \in \mathbf{R} $，$ f(x) \leq k $ 恒成立

答案：
典例3 ACD 由题意，函数$f(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ x^{2} - 3x + 3, & 1 ＜ x \leq 3 \\ 6 - x, & x ＞ 3 \end{cases}$作出函数$f(x)$的图象，如图所示，由图象知，$f(x)$有且仅有一个极小值点为$\frac{3}{2}$，故A正确；函数有两个极大值点1和3，故B错误；令$f(x) \leq 1$，可得$\begin{cases} x \leq 1 \\ x^{2} - 3x + 3 \leq 1 \\ 1 ＜ x \leq 3 \\ 6 - x \leq 1 \\ x ＞ 3 \end{cases}$或$\begin{cases} x \leq 1 \\ x \leq 2 或 x \geq 5 \\ x ＞ 3 \end{cases}$，解得$x \leq 2$或$x \geq 5$，即当$x \in (-\infty,2] \cup [5, +\infty)$时，$f(x) \leq 1$，故C正确；由图象知，当$x = 3$时，函数$f(x)$的最大值$f(3) = 3$，所以存在实数$k \geq 3$，使得$f(x) \leq k$恒成立，故D正确。故选ACD。