《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2) (2025·福建龙岩模拟)已知点$P(x_0, y_0)$是直线$l$：$x + y = 4$上的一点，过点$P$作圆$O$：$x^2 + y^2 = 2$的两条切线，切点分别为$A$，$B$，则四边形$PAOB$的面积的最小值为2√3.

答案：
(2)2√3

(1) (2021·北京卷)已知圆$C$：$x^2 + y^2 = 4$，直线$l$：$y = kx + m$，当$k$的值发生变化时，直线$l$被圆$C$所截得的弦长的最小值为$2$，则$m$的值为(C)
A. $\pm 2$
B. $\pm \sqrt{2}$
C. $\pm \sqrt{3}$
D. $\pm 3$
(2) (2024·南京校考一模)过点$P(3, -2)$且与圆$C$：$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$相切的直线方程为x = 3或3x + 4y - 1 = 0.
(3) (2025·河南名校联考)已知$\odot C$：$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$，直线$l$：$x + 2y + 2 = 0$，$M$为直线$l$上的动点，过点$M$作$\odot C$的切线$MA$，$MB$，切点为$A$，$B$，当四边形$MACB$的面积取最小值时，直线$AB$的方程为x + 2y + 1 = 0.

答案：
(1)C
(2)x = 3或3x + 4y - 1 = 0
(3)x + 2y + 1 = 0

典例 4 (1) (一题多变)设圆$C_1$：$x^2 + y^2 - 2x + 4y = 4$，圆$C_2$：$x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$，则圆$C_1$，$C_2$的公切线有(B)

A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条

答案：
(1)B

(2) (双空题)圆$C_1$：$x^2 + y^2 - 2x + 10y - 24 = 0$与圆$C_2$：$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 8 = 0$的公共弦所在直线的方程为x - 2y + 4 = 0，公共弦长为2√5.

答案：
(2)x - 2y + 4 = 0 2√5

(3) (开放题·一题多解)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆$x^2 + y^2 = 1$和$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$都相切的一条直线的方程x = -1或7x - 24y - 25 = 0或3x + 4y - 5 = 0.

答案：
(3)x = (-1或7x - 24y - 25 = 0或3x + 4y - 5 = 0)

[变式探究]
(变条件、变设问)若本例(1)条件变为“圆$x^2 + (y - 2)^2 = 4$与圆$x^2 + 2mx + y^2 + m^2 - 1 = 0$至少有三条公切线”，则$m$的取值范围是(-∞,-√5]∪[√5,+∞).

答案： (-∞,-√5]∪[√5,+∞)

(1) (2025·河北石家庄质检)“$a \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$”是“圆$C_1$：$x^2 + y^2 = 4$与圆$C_2$：$(x - a)^2 + (y + a)^2 = 1$有公切线”的(A)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
(2) (多选题)(2025·福建宁德二模)已知圆$C$：$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 1$和两点$A(-m, 0)$，$B(m, 0)$($m ＞ 0$). 若圆$C$上存在点$P$，使得$\angle APB = 90°$，则实数$m$的取值可以为(BCD)
A. $\frac{7}{2}$
B. 4
C. $\frac{9}{2}$
D. 6

答案：
(1)A
(2)BCD

[真题再现]
(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线$x - my + 1 = 0$与$\odot C$：$(x - 1)^2 + y^2 = 4$交于$A$，$B$两点，写出满足“$\triangle ABC$的面积为$\frac{8}{5}$”的$m$的一个值：2.

答案： 2(2,-2,-1/2,-1/2中任意一个皆可以)

[教材呈现]
（链接北师选择性必修一 P36 例 8）已知直线$m$：$3x + 4y - 2 = 0$与圆$P$：$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$.
(1) 写出圆$P$的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线$m$和圆$P$的图形；
(2) 由(1)所画图形，判断直线$m$与圆$P$的位置关系，若相交，求直线$m$被圆$P$截得的弦长；若相切或相离，给出证明.
点评：
这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查求解直线与圆相交所得的弦长，两题的相似度极高.

答案：
(1)
圆$P$的方程$x^{2}+y^{2}-2x - 2y=0$可转化为$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=2$。
所以圆心坐标为$(1,1)$，半径$r=\sqrt{2}$。
(2)
圆心$(1,1)$到直线$m:3x + 4y-2 = 0$的距离$d=\frac{\vert3×1 + 4×1-2\vert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{\vert5\vert}{5}=1$。
因为$d=1\lt r=\sqrt{2}$，所以直线$m$与圆$P$相交。
由$(\frac{l}{2})^{2}+d^{2}=r^{2}$（$l$为弦长），可得$(\frac{l}{2})^{2}=r^{2}-d^{2}=2 - 1=1$，则$\frac{l}{2}=1$，所以$l = 2$。
综上，圆$P$的圆心坐标为$(1,1)$，半径为$\sqrt{2}$；直线$m$与圆$P$相交，直线$m$被圆$P$截得的弦长为$2$。