《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)求 $C$ 的方程；

答案：
(1)由题意知，$\begin{cases}\frac{1}{a^{2}}+\frac{9}{4b^{2}}=1,\\c = 1.\end{cases}\begin{cases}a^{2}=b^{2}+c^{2},\\c = 1.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 2,\\b=\sqrt{3},\\c = 1.\end{cases}$ 所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。

(2)过点 $P(4,0)$ 的直线交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，$N$ 为线段 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$，证明：$AQ\perp y$ 轴.

答案：
(2)证明：分析知直线$AB$的斜率存在， 易知当直线$AB$的斜率为$0$时，$AQ\perp y$轴， 当直线$AB$的斜率不为$0$时，设直线$AB:x = ty + 4(t\neq0)$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$Q(1,n)$， 联立方程$\begin{cases}x = ty + 4,\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1.\end{cases}$消去$x$得$(3t^{2}+4)y^{2}+24ty + 36 = 0$，$\Delta＞0$， 则$y_{1}+y_{2}=\frac{-24t}{3t^{2}+4}$，$y_{1}y_{2}=\frac{36}{3t^{2}+4}$ 因为$N$为线段$FP$的中点，$F(1,0)$，所以$N(\frac{5}{2},0)$。 由$N$，$Q$，$B$三点共线，得$k_{BN}=k_{NQ}$，即$\frac{y_{2}}{x_{2}-\frac{5}{2}}=\frac{n}{1-\frac{5}{2}}$ 得$-\frac{3}{2}y_{2}=n(x_{2}-\frac{5}{2})$，得$n=\frac{-3y_{2}}{2x_{2}-5}$， 所以$n - y_{1}=\frac{-3y_{2}}{2x_{2}-5}-y_{1}=\frac{-3y_{2}}{2(ty_{2}+4)-5}-y_{1}=\frac{-2ty_{1}y_{2}-3(y_{1}+y_{2})}{2ty_{2}+3}$ $=\frac{-2t×\frac{36}{3t^{2}+4}-3×\frac{-24t}{3t^{2}+4}}{2ty_{2}+3}=\frac{-2t×36+3×24t}{3t^{2}+4}×\frac{1}{2ty_{2}+3}=0$ 所以$n = y_{1}$，所以$AQ\perp y$轴。

(1)求 $C$ 的方程；

答案：
(1)根据题意，点$P$到点$A(1,0)$的距离等于点$P$到直线$x = - 1$的距离， 所以点$P$的轨迹$C$是以$A$为焦点，直线$x = - 1$为准线的抛物线， 所以$C$的方程为$y^{2}=4x$。