《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师选择性必修二$P4$例$2$)已知数列$1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},3,\sqrt{11},·s,\sqrt{2n - 1},·s$，则$7$是这个数列的(C)

A.第$21$项
B.第$23$项
C.第$25$项
D.第$27$项

答案： 2.C

3. (链接北师选择性必修二$P8A$组$T6$)已知在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n}=-2n^{2}+25n + 30(n\in\mathbf{N}_{+})$，则数列中最大项的值是(B)

A.$107$
B.$108$
C.$108\frac{1}{8}$
D.$109$

答案： 3.B

4. (链接北师选择性必修二$P7A$组$T1$)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 如图中的数$1,5,12,22,·s$称为五边形数，则第$8$个五边形数是92.
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答案： 4.92

1. (2025·北京大兴模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+1$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为(D)

A.$a_{n}=n + 1$
B.$a_{n}=2n - 1$
C.$a_{n}=2n + 1$
D.$a_{n}=\begin{cases}2,n = 1, \\2n - 1,n\geqslant 2\end{cases}$

答案： 1.D

2. (2025·四川成都模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$2a_{1}+2^{2}a_{2}+2^{3}a_{3}+·s+2^{n}a_{n}=n· 2^{n}$，则$\{ a_{n}\}$的通项公式为(B)

A.$a_{n}=\begin{cases}1,n = 1 \\n + 1,n\geqslant 2\end{cases}$
B.$a_{n}=\frac{n + 1}{2}$
C.$a_{n}=n$
D.$a_{n}=\begin{cases}1,n = 1 \\n - 1,n\geqslant 2\end{cases}$

答案： 2.B

3. (双空题)已知数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n}$是其前$n$项和，且$S_{n}=2a_{n}+1$，则数列的通项公式$a_{n}=$$-2^{n-1}$，$S_{6}=$$-63$.

答案： 3.$a_n=-2^{n-1}$ $S_6=-63$

1. 已知$S_{n}$求$a_{n}$的三个步骤
第一步：先利用$a_{1}=S_{1}$求出$a_{1}$；
第二步：用$n - 1$替换$S_{n}$中的$n$得到一个新的关系式，利用$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}(n\geqslant 2)$便可求出当$n\geqslant 2$时$a_{n}$的表达式；
第三步：注意检验当$n = 1$时的表达式是否可以与$n\geqslant 2$时的表达式合并.
2. $a_{n}$与$S_{n}$的关系问题的求解思路
(1)利用$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}(n\geqslant 2)$转化为只含$S_{n},S_{n - 1}$的关系式，再求解.
(2)利用$S_{n}-S_{n - 1}=a_{n}(n\geqslant 2)$转化为只含$a_{n},a_{n - 1}$的关系式，再求解.

答案： 答题卡作答如下：
1. 已知$S_{n}$求$a_{n}$的步骤：
第一步：当$n = 1$时，$a_{1} = S_{1}$。
第二步：当$n \geqslant 2$时，由$S_{n}$表达式得到$S_{n - 1}$的表达式，进而有$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$，求出$a_{n}$的表达式。
第三步：检验$n = 1$时，$a_{1}$是否满足$n \geqslant 2$时$a_{n}$的表达式。若满足，则可以将$a_{n}$的表达式统一；若不满足，则$a_{n}$需要分$n = 1$和$n \geqslant 2$两种情况来写。
2. $a_{n}$与$S_{n}$的关系问题求解：
(1) 已知$S_{n}$的表达式，当$n \geqslant 2$时，$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$，得到$a_{n}$与$S_{n}$、$S_{n - 1}$的关系式，再根据关系式求解。
(2) 已知$S_{n}$与$S_{n - 1}$的关系，因为$S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}(n\geqslant 2)$，将其转化为$a_{n}$与$a_{n - 1}$的关系式，再求解。

典例 1 (1)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=a_{n}+\ln(1+\frac{1}{n})$，则$a_{n}$等于(A)

A.$2+\ln n$
B.$2+(n - 1)\ln n$
C.$2+n\ln n$
D.$1+n+\ln n$

答案：
(1)A

(2)(原创题)设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，如$[-3.14]=-4$，$[3.14]=3$. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足：$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=a_{n}+n + 1(n\in\mathbf{N}_{+})$，则$[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+·s+\frac{1}{a_{2024}}]$等于(A)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案：
(2)A

典例 2 已知数列$\{ a_{n}\}$对任意$k\in\mathbf{N}_{+}$满足$a_{k}· a_{k + 1}=2^{k}$，则$a_{1}· a_{2024}=$(A)

A.$2^{1012}$
B.$2^{1013}$
C.$2^{2024}$
D.$2^{2025}$

答案： A