《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

4. (链接北师必修二 P225 例 1) 如图，在三棱锥 $ A - BCD $ 中，$ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 分别是棱 $ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DA $ 的中点，则
(1) 当 $ AC $，$ BD $ 满足条件AC=BD时，四边形 $ EFGH $ 为菱形；
(2) 当 $ AC $，$ BD $ 满足条件AC=BD且AC⊥BD时，四边形 $ EFGH $ 为正方形.

答案： 4.
(1)AC=BD
(2)AC=BD且AC⊥BD
(1)由题意知，EF//AC，HG//AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，所以EF//HG，所以四边形EFGH为平行四边形，因为四边形EFGH为菱形，所以EF=EH，又EF=$\frac{1}{2}$AC，EH=$\frac{1}{2}$BD，所以AC=BD.
(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF=EH且EF⊥EH，所以AC=BD且AC⊥BD.

1. 空间中有三条线段 $ AB $，$ BC $，$ CD $，且 $ \angle ABC = \angle BCD $，那么直线 $ AB $ 与 $ CD $ 的位置关系是 (D)

A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能

答案：
1.D 根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况。
　　　　　　
由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况. 故选D.

2. (多选题) 下列推断中，正确的是 (ABD)

A.$ M \in \alpha $，$ M \in \beta $，$ \alpha \cap \beta = l \Rightarrow M \in l $
B.$ \alpha $，$ \beta $ 为两个不重合的平面，$ A \in \alpha $，$ A \in \beta $，$ B \in \alpha $，$ B \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = AB $
C.$ l \not\subset \alpha $，$ A \in l \Rightarrow A \notin \alpha $
D.$ A $，$ B $，$ C \in \alpha $，$ A $，$ B $，$ C \in \beta $，且 $ A $，$ B $，$ C $ 不共线 $ \Rightarrow \alpha $，$ \beta $ 重合

答案： 2.ABD 对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，且α，β不重合，即α∩β=AB，故B正确；对于C，若l∩α=A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确. 故选ABD.

3. (多选题) 如图所示，在正方体 $ ABCD - A$${ 1 } B$${ 1 } C$${ 1 } D$${ 1 } $ 中，$ M $，$ N $ 分别为棱 $ C$${ 1 } D$${ 1 } $，$ C$${ 1 } C $ 的中点，以下四个选项正确的是 (CD)


A.直线 $ AM $ 与 $ CC$${ 1 } $ 是相交直线
B.直线 $ AM $ 与 $ BN $ 是平行直线
C.直线 $ BN $ 与 $ MB$${ 1 } $ 是异面直线
D.直线 $ AM $ 与 $ DD$${ 1 } $ 是异面直线

答案： 3.CD 因为点A在平面CDD₁C₁外，点M在平面CDD₁C₁内，直线CC₁在平面CDD₁C₁内，CC₁不过点M，所以直线AM与CC₁是异面直线，故A错误；取DD₁的中点E，连接AE(图略)，则BN//AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B₁与直线BN都在平面BCC₁B₁内，点M在平面BCC₁B₁外，BN不过点B₁，所以BN与MB₁是异面直线，故C正确；同理D正确. 故选CD.

4. (多选题) (2025·重庆名校联考) 如图，在正方体 $ ABCD - A$${ 1 } B$${ 1 } C$${ 1 } D$${ 1 } $ 中，$ O $ 为正方形 $ ABCD $ 的中心，当点 $ P $ 在线段 $ BC$${ 1 } $ 上 (不包含端点) 运动时，下列直线中一定与直线 $ OP $ 异面的是 (BCD)


A.$ AB$${ 1 } $
B.$ A$${ 1 } C $
C.$ A$${ 1 } A $
D.$ AD$${ 1 } $

答案：
4.BCD 对于A，如图①，连接AB₁，C₁D₁，B₁D₁，当P为BC₁的中点时，OP//D₁C₁//AB₁，故A不正确；对于B，如图②，连接A₁C，A₁C₁，AC，因为A₁C⊂平面AA₁C₁C，O∈平面AA₁C₁C，O∉A₁C，P∉平面AA₁C₁C，所以直线A₁C与直线OP一定是异面直线，故B正确；
　　 　 　　
对于C，如图②，因为A₁C⊂平面AA₁C₁C，O∈平面AA₁C₁C，O∉A₁C，P∉平面AA₁C₁C，所以直线A₁C与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，如图③，连接AD₁，D₁C，AC，因为AD₁⊂平面AD₁C，O∈平面AD₁C，P∉平面AD₁C，所以直线AD₁与直线OP一定是异面直线，故D正确. 故选BCD.

已知在正方体 $ ABCD - A$${ 1 } B$${ 1 } C$${ 1 } D$${ 1 } $ 中，$ E $，$ F $ 分别为 $ D$${ 1 } C$${ 1 } $，$ C$${ 1 } B$${ 1 } $ 的中点，$ AC \cap BD = P $，$ A$${ 1 } C$${ 1 } \cap EF = Q $. 求证：

答案： 答案略

(1) $ D $，$ B $，$ F $，$ E $ 四点共面；

答案：

(1) 如图所示，连接B₁D₁.
因为EF是△D₁B₁C的中位线，
所以EF//B₁D₁.
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁//BD₁，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
所以EF//BD₁.
所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.

(2) 若 $ A$${ 1 } C $ 交平面 $ DBFE $ 于点 $ R $，则 $ P $，$ Q $，$ R $ 三点共线；

答案：
(2) 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C，设A₁，C，C₁确定的平面为α，
又设平面DBFE为β. 因为Q∈A₁C₁，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点，所以α∩β=PQ.
又A₁C∩β=R，所以R∈A₁C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，
故P，Q，R三点共线.

(3) $ DE $，$ BF $，$ CC$${ 1 } $ 三线交于一点.

答案：
(3) 因为EF//BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，
设交点为M，则M∈DE，DE⊂平面D₁DCC₁，得M∈平面D₁DCC₁，
同理，M∈平面B₁BCC₁.
又平面D₁DCC₁∩平面B₁BCC₁=CC₁，
所以M∈CC₁.
所以DE，BF，CC₁三线交于一点.