《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列命题正确的是(AD)

A.集合 $\{x \in \mathbf{N} \mid x^3 = x\}$，用列举法表示为 $\{0, 1\}$
B.$\{x \mid y = x^2 + 1\} = \{y \mid y = x^2 + 1\} = \{(x, y) \mid y = x^2 + 1\}$
C.若 $1 \in \{x^2, x\}$，则 $x = -1$ 或 $x = 1$
D.对任意集合 $A$，$B$，都有 $(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$

答案： 1.AD

2. (链接北师必修一 P7 例 4，改编)已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 4x ＜ 0, x \in \mathbf{N}_+\}$，则集合 $A$ 真子集的个数为(C)

A.$3$
B.$4$
C.$7$
D.$8$

答案： 2.C A={x|x² -4x＜0,x∈N+}={1,2,3},所以集合A真子集的个数为2³ -1=7个. 故选C.

3. (2025·八省适应性测试)已知集合 $A = \{-1, 0, 1\}$，$B = \{0, 1, 4\}$，则 $A \cap B =$(C)

A.$\{0\}$
B.$\{1\}$
C.$\{0, 1\}$
D.$\{-1, 0, 1, 4\}$

答案： 3.C 由题意可得A∩B={0,1}. 故选C.

4. (链接北师必修一 P12A 组 T7，改编)已知集合 $A = \{1, 3, a^2\}$，$B = \{1, a + 2\}$，且 $A \cup B = A$，则实数 $a$ 的值为2.

答案： 4.2 因为A∪B=A,所以B⊆A,则a+2=3,或a+2=a²,解得a=1,或a=2,或a=-1. 当a=1时,集合A={1,3,1},与集合中元素的互异性相矛盾,舍去. 当a=2时,集合A={1,3,4},B={1,4},符合题意. 当a=-1时,集合A={1,3,1},B={1,1},与集合中元素的互异性相矛盾,舍去. 综上a=2.

1. (2025·江苏常州模拟)设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，$B = \{5, 6\}$，$C = \{x + y \mid x \in A, y \in B\}$，则 $C$ 中元素的个数为(C)

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 1.C 因为集合A={1,2,3,4},B={5,6},又x∈A,y∈B,则当y=5时,x+y的值有6,7,8,9,当y=6时,x+y的值有7,8,9,10,于是得C={6,7,8,9,10},所以C中元素的个数为5. 故选C.

2. (2025·江西南昌模拟)已知 $A = \{x \mid x^2 - ax + 1 \leq 0\}$，若 $2 \in A$，且 $3 \notin A$，则 $a$ 的取值范围是(A)

A.$\left[\dfrac{5}{2}, \dfrac{10}{3}\right)$
B.$\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{10}{3}\right]$
C.$\left[\dfrac{5}{2}, +\infty\right)$
D.$\left(-\infty, \dfrac{10}{3}\right)$

答案： 2.A 由题意得4-2a+1≤0且9-3a+1＞0,解得$\frac{5}{2}$≤a＜$\frac{10}{3}$,则a的取值范围是[$\frac{5}{2}$,$\frac{10}{3}$). 故选A.

3. 已知 $a, b \in \mathbf{R}$，若 $\left\{a, \dfrac{b}{a}, 1\right\} = \{a^2, a + b, 0\}$，则 $a^{2025} + b^{2026}$ 的值为(A)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\pm 1$

答案： 3.A 由集合相等可得0∈{a,$\frac{b}{a}$,1},且a≠0,则$\frac{b}{a}$=0,所以b=0,所以a²=1,解得a=1或a=-1. 根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,所以a²⁰²⁵+b²⁰²⁶=(-1)²⁰²⁵+0²⁰²⁶=-1. 故选A.

(1) (2024·辽宁沈阳质测)设全集 $U = \mathbf{R}$，则集合 $M = \{0, 1, 2\}$ 和 $N = \{x \mid x(x - 2)\log_2 x = 0\}$ 的关系可表示为(A)


A.
B.
C.
D.

答案：
(1)A

(2) (2023·新课标Ⅱ卷)设集合 $A = \{0, -a\}$，$B = \{1, a - 2, 2a - 2\}$，若 $A \subseteq B$，则 $a =$(B)

A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$-1$

答案：
(2)B

[变式探究]

答案： 答题卡：
设集合$A = \{ x|x^{2} - 5x + 6 = 0\}$，$B = \{ x|mx - 1 = 0\}$，若$B\subseteq A$，求实数$m$的集合。
解：
首先求解集合$A$，由$x^{2} - 5x + 6 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得$x = 2$或$x = 3$，
所以$A = \{ 2,3\}$。
因为$B\subseteq A$，
当$m = 0$时，$mx - 1 = 0$无解，所以$B = \varnothing$，满足$B\subseteq A$。
当$m \neq 0$时，$B = \{ \frac{1}{m}\}$，
若$B\subseteq A$，则$\frac{1}{m} = 2$或$\frac{1}{m} = 3$，
解得$m = \frac{1}{2}$或$m = \frac{1}{3}$。
综上，实数$m$的集合为$\{ 0,\frac{1}{3},\frac{1}{2}\}$。

1. (变问法)本例(1)中集合 $N$ 的真子集有3个.

答案： 1.3

2. (变条件)将本例(2)中的集合 $A$，$B$ 分别变为 $A = \{x \mid -a ＜ x ＜ a\}$，$B = \{x \mid -1 ＜ x ＜ 3\}$，则实数 $a$ 的取值范围为(-∞,1].

答案： 2.(-∞,1]

(1) (2025·安徽淮北模拟)若集合 $P = \{x \mid -2 \leq x ＜ m - m^2, x \in \mathbf{Z}\}$，当 $m = \dfrac{1}{2}$ 时，集合 $P$ 的非空真子集个数为(C)
A. $8$
B. $7$
C. $6$
D. $4$
(2) 已知集合 $A = \{x \mid -3 \leq x \leq 4\}$，$B = \{x \mid 2m - 1 \leq x \leq m + 1\}$，且 $B \subseteq A$，则实数 $m$ 的取值范围是[-1,+∞).

答案：
(1)C
(2)[-1,+∞)

(1) (2024·新课标Ⅰ卷)已知集合 $A = \{x \mid -5 ＜ x^3 ＜ 5\}$，$B = \{-3, -1, 0, 2, 3\}$，则 $A \cap B =$(A)

A.$\{-1, 0\}$
B.$\{2, 3\}$
C.$\{-3, -1, 0\}$
D.$\{-1, 0, 2\}$

答案：
(1)A