《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师必修一 P67 例 2，改编)给出下列函数，其中是奇函数的为(B)

A.$f(x)=x^{4}$
B.$f(x)=x+\frac{1}{x}$
C.$f(x)=x^{3}+\cos x$
D.$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$

答案： 2.B 根据函数奇偶性的定义，易判断$f(x)=x^{4}$为偶函数，$f(x)=x+\frac{1}{x}$为奇函数，$f(x)=x^{3}+\cos x$既不是偶函数也不是奇函数，$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$为偶函数.故选B.

3. (链接北师必修一 P69A 组 T3，改编)已知$f(x)=ax^{2}+bx$是定义在$[a - 1,2a]$上的偶函数，那么$a + b$的值是(D)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 3.D 因为$f(x)=ax^{2}+bx$是定义在$[a - 1,2a]$上的偶函数，所以$a - 1 + 2a = 0$，所以$a=\frac{1}{3}$.又$f(-x)=f(x)$，所以$b = 0$，所以$a + b=\frac{1}{3}$.故选D.

4. 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x + 2)=f(x)$，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)=x^{2}+1$，则$f(2026.5)$等于(B)

A.$\frac{17}{16}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$2$
D.$1$

答案： 4.B 由$f(x + 2)=f(x)$，可知函数$f(x)$的周期为$2$，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)=x^{2}+1$，所以$f(2026.5)=f(2026+\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$.故选B.

1. (2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(B)

A.$f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x^{2}}{x^{2}+1}$
B.$f(x)=\frac{\cos x+x^{2}}{x^{2}+1}$
C.$f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x}{x + 1}$
D.$f(x)=\frac{\sin x+4x}{\mathrm{e}^{|x|}}$

答案： 1.B 对于A，$f(-x)=\frac{e^{-x}-(-x)^{2}}{(-x)^{2}+1}=\frac{e^{-x}-x^{2}}{x^{2}+1}\neq f(x)$，故$f(x)$不是偶函数；对于B，$f(-x)=\frac{\cos(-x)+(-x)^{2}}{(-x)^{2}+1}=\frac{\cos x + x^{2}}{x^{2}+1}=f(x)$，故$f(x)$是偶函数；对于C，$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq -1\}$，不关于原点对称，故$f(x)$不是偶函数；对于D，$f(-x)=\frac{\sin(-x)+4(-x)}{e^{-|x|}}=\frac{-\sin x - 4x}{e^{|x|}}=-f(x)$，故$f(x)$是奇函数.故选B.

2. (多选题)下列函数中具有奇偶性的是(ACD)

A.$f(x)=x+\sin x$
B.$f(x)=(x - 1)\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$
C.$f(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)$
D.$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x,x\lt0,\\-x^{2}+x,x\gt0\end{cases}$

答案： 2.ACD 对于A，$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，由$f(-x)=-x+\sin(-x)=-x-\sin x=-f(x)$，知$f(x)$为奇函数；对于B，令$\frac{x + 1}{x - 1}\geqslant0$，解得$x\leqslant -1$或$x＞1$，即函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,-1]\cup(1,+\infty)$，不关于原点对称，即$f(x)$为非奇非偶函数；对于C，因为$x^{2}+1＞x^{2}$，所以$\sqrt{x^{2}+1}-x＞0$恒成立，即$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，又$f(-x)+f(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)+\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)=\ln1 = 0$，故$f(x)$为奇函数；对于D，显然函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，关于原点对称.因为当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=-(-x)^{2}-x=-x^{2}-x=-f(x)$；当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=(-x)^{2}-x=x^{2}-x=-f(x)$；综上可知，对于定义域内的任意$x$，总有$f(-x)=-f(x)$成立，所以函数$f(x)$为奇函数.故选ACD.

3. (多选题)设函数$f(x)$，$g(x)$的定义域都为$\mathbf{R}$，且$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论中正确的有(BC)

A.$f(x)g(x)$是偶函数
B.$|f(x)| + g(x)$是偶函数
C.$f(x)|g(x)|$是奇函数
D.$|f(x)g(x)|$是奇函数

答案： 3.BC 因为$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，所以$|f(x)|$是偶函数，$|g(x)|$是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得$f(x)g(x)$为奇函数，$f(x)|g(x)|$为奇函数，所以$|f(x)g(x)|$为偶函数，故A、D错误，C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得B正确.故选BC.

4. (2025·辽宁辽阳一模)若$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，则下列函数是奇函数的是(C)

A.$y = f(2^{x}+2^{-x})$
B.$y = f(2^{x}-x)$
C.$y = f(2^{x}-2^{-x})$
D.$y = f(2^{x}+x)$

答案： 4.C 依题意，$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，$f(-x)=-f(x)$，对于A，对于函数$y = f(2^{x}+2^{-x})$，$f(2^{x}+2^{-x})=f(2^{-x}+2^{x})$，所以函数$y = f(2^{x}+2^{-x})$不是奇函数；对于B，对于函数$y = f(2^{x}-2^{-x})$，$f(2^{-x}+2^{x})\neq -f(2^{x}-2^{-x})$，所以函数$y = f(2^{x}-2^{-x})$不是奇函数；对于C，对于函数$y = f(2^{x}-2^{-x})$，$f(2^{-x}-2^{x})=-f(2^{x}-2^{-x})$，所以函数$y = f(2^{x}-2^{-x})$是奇函数；对于D，对于函数$y = f(2^{x}+x)$，$f(2^{-x}-x)\neq -f(2^{x}+x)$，所以函数$y = f(2^{x}+x)$不是奇函数.故选C.

典例 1 (2023·全国乙卷)已知$f(x)=\frac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{ax}-1}$是偶函数，则$a=$(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 典例1 D 因为$f(x)=\frac{xe^{x}}{e^{x}-1}$为偶函数，则$f(x)-f(-x)=\frac{xe^{x}}{e^{x}-1}-\frac{(-x)e^{-x}}{e^{-x}-1}=\frac{x[e^{x}-e^{-x(e^{-1})}]}{e^{x}-1}=0$，又因为$x$不恒为$0$，可得$e^{x}-e^{(a - 1)x}=0$，即$e^{x}=e^{(a - 1)x}$，则$x=(a - 1)x$，即$1 = a - 1$，解得$a = 2$.故选D.

典例 2 (1)设函数$f(x)=x^{5}+2x^{3}+3x + 1$在区间$[-2025,2025]$上的最大值是$M$，最小值为$m$，则$M + m$等于(C)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 典例2
(1)C
(2)B
(1)由题意知，函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，令$g(x)=f(x)-1=x^{5}+2x^{3}+3x$，则函数$g(x)$为奇函数，所以$g(x)$在区间$[-2025,2025]$上的最大值与最小值之和为$0$，即$M - 1 + m - 1 = 0$，所以$M + m = 2$.故选C.

(2)奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上的解析式是$f(x)=x(1 - x)$，则函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上的解析式是(B)

A.$f(x)=-x(x - 1)$
B.$f(x)=x(1 + x)$
C.$f(x)=-x(1 + x)$
D.$f(x)=x(x - 1)$

答案：
(2)令$x\in(-\infty,0)$，则$-x\in(0,+\infty)$，由已知可得$f(-x)=-x(1 + x)$，因为$f(x)$为奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，所以当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=-f(-x)=x(1 + x)$.故选B.

典例 3 若定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(3)=0$，则满足$xf(x - 2)\lt0$的$x$的取值范围为(C)

A.$(-\infty,-1)\cup(2,5)$
B.$(-\infty,-1)\cup(0,5)$
C.$(-1,0)\cup(2,5)$
D.$(-1,0)\cup(5,+\infty)$

答案： 典例3 C 因为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(3)=0$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上也单调递增，且$f(-3)=0$，$f(0)=0$，所以当$x\in(-\infty,-3)\cup(0,3)$时，$f(x)＜0$，当$x\in(-3,0)\cup(3,+\infty)$时，$f(x)＞0$，所以由$xf(x - 2)＜0$，可得$\begin{cases}x＜0\\-3＜x - 2＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x＞0\\0＜x - 2＜3\end{cases}$，解得$-1＜x＜0$或$2＜x＜5$，即$x\in(-1,0)\cup(2,5)$.故选C.