《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1) 求证：$BC// GH$；

答案：
(1)证明：因为在三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，平面$ABC //$平面$A_1B_1C_1$，又因为平面$BCHG \cap$平面$ABC = BC$，且平面$BCHG \cap$平面$A_1B_1C_1 = HG$，所以由面面平行的性质定理得$BC // GH$.

(2) 若$E$，$F$，$G$分别是$AB$，$AC$，$A_1B_1$的中点，求证：平面$EFA_1//$平面$BCHG$。

答案：
(2)证明：因为$E$,$F$分别为$AB$,$AC$的中点，所以$EF // BC$，因为$EF \not\subset$平面$BCHG$，$BC \subset$平面$BCHG$，所以$EF //$平面$BCHG$.又$G$,$E$分别为$A_1B_1$,$AB$的中点，$A_1B_1 // AB$，所以$A_1G // EB$，所以四边形$A_1EBG$是平行四边形，所以$A_1E // GB$.因为$A_1E \not\subset$平面$BCHG$，$GB \subset$平面$BCHG$，所以$A_1E //$平面$BCHG$.又因为$A_1E \cap EF = E$，$A_1E$,$EF \subset$平面$EFA_1$，所以平面$EFA_1 //$平面$BCHG$.

[变式探究]
(变条件，变设问)在本例(2)中，若将条件“$E$，$F$，$G$分别是$AB$，$AC$，$A_1B_1$的中点”变为“点$D$，$D_1$分别是$AC$，$A_1C_1$上的点，且平面$BC_1D//$平面$AB_1D_1$”，试求$\frac{AD}{DC}$的值。

答案：
解：如图，连接$A_1B$交$AB_1$于点$O$，连接$OD_1$.由平面$BCD_1 //$平面$AB_1D_1$，且平面$A_1BC_1 \cap$平面$BCD_1 = BC_1$，平面$A_1BC_1 \cap$平面$AB_1D_1 = D_1O$，所以$BC_1 // D_1O$，则$\frac{A_1D_1}{D_1C_1} = \frac{A_1O}{OB} = 1$.又由题易得$\frac{A_1D_1}{D_1C_1} = \frac{DC}{AD}$，所以$\frac{DC}{AD} = 1$，即$\frac{AD}{DC} = 1$.

如图，在三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$E$，$F$，$G$分别为$B_1C_1$，$A_1B_1$，$AB$的中点。
(1) 求证：平面$A_1C_1G//$平面$BEF$；
(2) 若平面$A_1C_1G\cap BC = H$，求证：$H$为$BC$的中点。

答案：
证明：
(1)因为$E$,$F$分别为$B_1C_1$,$A_1B_1$的中点，所以$EF // A_1C_1$，因为$A_1C_1 \subset$平面$A_1C_1G$，$EF \not\subset$平面$A_1C_1G$，所以$EF //$平面$A_1C_1G$.又$F$,$G$分别为$A_1B_1$,$AB$的中点，所以$A_1F = BG$，又$A_1F // BG$，所以四边形$A_1GBF$为平行四边形，则$BF // A_1G$，因为$A_1G \subset$平面$A_1C_1G$，$BF \not\subset$平面$A_1C_1G$，所以$BF //$平面$A_1C_1G$.又$EF \cap BF = F$，$EF$,$BF \subset$平面$BEF$，所以平面$A_1C_1G //$平面$BEF$.
(2)因为平面$ABC //$平面$A_1B_1C_1$，平面$A_1C_1G \cap$平面$A_1B_1C_1 = A_1C_1$，平面$A_1C_1G$与平面$ABC$有公共点$G$，则有经过$G$的直线，设交$BC$于点$H$，则$A_1C_1 // GH$，得$GH // AC$，因为$G$为$AB$的中点，所以$H$为$BC$的中点.