《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 下列说法中正确的是(B)

A.$\sqrt[n]{a^{n}}=(\sqrt[n]{a})^{n}=a$
B.$\log_{\frac{1}{2}}4.2=m\Leftrightarrow(\frac{1}{2})^{m}=4.2$
C.分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$可以理解为$\frac{m}{n}$个$a$相乘
D.若$MN＞0$，则$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$

答案： 1.B

2. (链接北师必修一$P102$例$2$，改编)设$a=\lg2$，$b=\lg3$，则$\log_{12}10=$(A)

A.$\frac{1}{2a + b}$
B.$\frac{1}{2b + a}$
C.$2a + b$
D.$2b + a$

答案： 2.A $\log_{12}10 = \frac{1}{\lg 12} = \frac{1}{\lg 3 + 2\lg 2} = \frac{1}{2a + b}$. 故选A.

3. (2025·八省适应性测试)已知函数$f(x)=a^{x}(a＞0,a\neq1)$，若$f(\ln2)f(\ln4)=8$，则$a=$e.

答案： 3.e 由$f(\ln 2)f(\ln 4) = 8$,可得$a^{\ln 2} · a^{\ln 4} = 8$,即$a^{\ln 2 + \ln 4} = a^{3\ln 2} = 8$,也即$(a^{\ln 2})^{3} = 2^{3}$,因为$a ＞ 0$且$a \neq 1$,所以$a^{\ln 2} = 2$,两边取对数得$\ln 2 · \ln a = \ln 2$,解得$a = e$.

4. (链接北师必修一$P82B$组$T3$，改编)已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$，则$a + a^{-1}=$7；$a^{2} + a^{-2}=$47.

答案： 4.7 47 由$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$,得$a + a^{-1} + 2 = 9$,即$a + a^{-1} = 7$,则$a^{2} + a^{-2} + 2 = 49$,即$a^{2} + a^{-2} = 47$.

1. (2025·广东珠海模拟)已知$a＞0$且$a\neq1$，下列等式正确的是(D)

A.$a^{-2}· a^{3}=a^{-6}$
B.$\frac{a^{6}}{a^{3}}=a^{2}$
C.$a^{6}+a^{3}=a^{9}$
D.$a^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^{3}}}$

答案： 1.D 对于A,$a ＞ 0$且$a \neq 1$,故$a^{-2} · a^{3} = a^{-2 + 3} = a$,故A错误;对于B,$a ＞ 0$且$a \neq 1$,故$\frac{a^{6}}{a^{3}} = a^{3 - 3} = a^{0} \neq a^{3}$,故B错误;对于C,$a^{6} + a^{3} \neq a^{9}$,故C错误;对于D,$a ＞ 0$且$a \neq 1$,故$a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{3}}}$,故D正确.故选D.

2. (2025·北京东城期末)已知$2^{a}=3$，$\log_{4}5=b$，则$2^{a - 2b}$的值为(C)

A.$15$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$-2$

答案： 2.C 由$\log_{3}5 = b$,得$4^{b} = 5$,即$2^{2b} = 5$,而$2^{a} = 3$,所以$2^{a - 2b} = \frac{2^{a}}{2^{2b}} = \frac{3}{5}$.故选C.

3. (多选题)下列运算中正确的是(BD)

A.$\frac{\log_{3}7}{\log_{3}5}=\log_{7}5$
B.$(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{(3 - \pi)^{2}}=3 - \pi$
D.$(\frac{1}{2})^{-\log_{2}6}+\ln(\lne)=6$

答案： 3.BD 对于A,$\frac{\log_{8}7}{\log_{3}5} = \log_{5}7$,故A错误;对于B,$(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{3}{2})^{3 × \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$,故B正确;对于C,$\sqrt{(3 - \pi)^{2}} = |3 - \pi| = \pi - 3$,故C错误;对于D,$(\frac{1}{2})^{-\log_{2}6} + \ln(\ln e) = 2^{\log_{2}6} + \ln 1 = 6 + 0 = 6$,故D正确.故选BD.

(1) $0.75^{-1}×(\frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{1}{2}}×(6\frac{3}{4})^{\frac{1}{4}}+10(\sqrt{3}-2)^{-1}+(\frac{1}{300})^{-\frac{1}{2}}+16^{\frac{1}{4}}$；

答案：
(1)$0.75^{-1} × (\frac{\sqrt{3}}{2})^{0} × (6\frac{3}{4})^{\frac{1}{4}} + 10(\sqrt{3} - 2)^{-1} + (\frac{1}{300})^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{1}{4}}$
$= (\frac{3}{4})^{-1} × (\frac{3}{4})^{\frac{1}{2}} × (\frac{27}{4})^{\frac{1}{4}} + \frac{10}{\sqrt{3} - 2} + (300)^{\frac{1}{2}} + (2^{4})^{\frac{1}{4}}$
$= \frac{4}{3} × (\frac{3 × 27}{4 × 4})^{\frac{1}{4}} - 10(\sqrt{3} + 2) + 10\sqrt{3} + 2 = \frac{4}{3} × \frac{3}{2} - 20 + 2$
$= - 16$.

(2) $(\log_{3}2+\log_{9}2)(\log_{4}3+\log_{8}3)+(\log_{3}\sqrt{3})^{2}+\ln\sqrt{e}-\lg100$.

答案：
(2)$(\log_{2}2 + \log_{2}2)(\log_{4}3 + \log_{8}3) + (\log_{3}\sqrt{3})^{2} + \ln\sqrt{e} - \lg 100$
$= (\log_{2}2 + \frac{1}{2}\log_{2})(\frac{1}{2}\log_{2}3 + \frac{1}{3}\log_{2}3) + (\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} - 2$
$= \frac{3}{2}\log_{2}2 × \frac{5}{6}\log_{2}3 + \frac{1}{lg 2} × \frac{1}{lg 3} + \frac{1}{2} - 2$
$= \frac{3 × lg 2 × lg 3}{2 × lg 3 × lg 2} × \frac{5}{6} × \frac{lg 3}{lg 2} × \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 2 = 0$.