《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 二次函数解析式的三种形式
(1) 一般式：$f(x)=$$ax^2+bx+c(a≠0)$.
(2) 顶点式：$f(x)=a(x - m)^2 + n(a \neq 0)$，顶点坐标为(m,n).
(3) 零点式：$f(x)=a(x - x_1)(x - x_2)(a \neq 0)$，$x_1$，$x_2$为$f(x)$的零点.

答案： 1.
(1)$ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$
(2)$(m,n)$

2. 二次函数的图象和性质

答案： 2.R $\left[\frac{4ac - b^{2}}{4a},+\infty\right)$ 减 增 增 减

1. (多选题)下列说法不正确的是(BCD)

A.二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象恒在$x$轴下方，则$a ＜ 0$且$\Delta ＜ 0$
B.若二次函数$y = ax^2 + bx + c$的两个零点确定，则二次函数的解析式确定
C.二次函数$y = ax^2 + bx + c(x \in [m, n])$的最值一定是$\frac{4ac - b^2}{4a}$
D.二次函数$y = ax^2 + bx + c$在$(-\infty, -\frac{b}{2a}]$上单调递减，在$[-\frac{b}{2a}, +\infty)$上单调递增

答案： 1.BCD

2. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$a ＞ b ＞ c$且$a + b + c = 0$，则它的图象可能是(D)


A.
B.
C.
D.

答案： 2.D 由$a ＞ b ＞ c$且$a + b + c = 0$，得$a ＞ 0$，$c ＜ 0$，所以函数$f(x)$是二次函数，图象开口向上，排除A，C；又$f(0)=c ＜ 0$，所以排除B；只有D符合. 故选D.

3. (链接北师必修一 P33T1，改编)函数$y = x^2 - 2x + 4$的最小值为3.

答案： 3.3 $y = x^{2}-2x + 4=(x - 1)^{2}+3$，故当$x = 1$时，$y_{min}=3$.

4. 已知$y = f(x)$为二次函数，若$y = f(x)$在$x = 2$处取得最小值$-4$，且$y = f(x)$的图象经过原点，则函数解析式为$f(x)=x^2-4x$.

答案： 4.$f(x)=x^{2}-4x$ 由题意，可设$f(x)=a(x - 2)^{2}-4(a ＞ 0)$，又图象过原点，所以$f(0)=4a - 4 = 0$，$a = 1$，所以$f(x)=(x - 2)^{2}-4=x^{2}-4x$.