《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

答案：
(3)由
(2)得$0 \leq x ＜ 25$时，$W(x) = -3x^2 + 120x - 1000 = -3(x - 20)^2 + 200$，所以当$x = 20$(台)时，$W(x)_{max} = 200$(万元)，当$x \geq 25$时，$W(x) = -2x - \frac{3200}{x + 10} + 330 = -2 \left( x + 10 + \frac{1600}{x + 10} \right) + 350 \leq -2×2\sqrt{(x + 10)\frac{1600}{x + 10}} + 350 = 190$，当且仅当$x + 10 = \frac{1600}{x + 10}$，即$x = 30$时等号成立，$W(x)_{max} = 190$(万元)，而$200 ＞ 190$，故$x = 20$(台)时，利润最大，最大利润是$200$万元.综上所述：年产量为$20$台时，该企业所获利润最大，最大利润是$200$万元.

(1)某乡村要修建一条$100$米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为$120^{\circ}$的等腰梯形(如图). 水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米$100$元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金$3$万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$)(B)

A. $0.58$米
B. $0.87$米
C. $1.17$米
D. $1.73$米
(2)“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好. 小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为$20 m/s$，然后石片在水面上继续进行多次弹跳. 不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的$85\%$，若石片接触水面时的速度低于$6 m/s$，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：$\lg 2 \approx 0.3$，$\lg 3 \approx 0.48$，$\lg 17 \approx 1.23$)(C)
A. $6$
B. $7$
C. $8$
D. $9$
]

答案：

(1)B
(2)C
(1)如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，$BE \perp CD$于E，$\angle BAD = \angle ABC = 120°$，要使过水横断面面积最大，则此时资金$3$万元都用完，则$100 × (AB + BC + AD) × 100 = 30000$，解得$AB + BC + AD = 3$，设$BC = x$，则$AB = 3 - 2x$，$BE = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，$CE = \frac{1}{2}x$，则$CD = 3 - x$，且$0 ＜ x ＜ \frac{3}{2}$，梯形ABCD的面积$S = \frac{(3 - 2x + 3 - x) × \frac{\sqrt{3}}{2}x}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} (-x^2 + 2x)$，当$x = 1$时，$S_{max} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$，此时$BE = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87$，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为$0.87$米.故选B.

(2)设石片第n次接触水面时的速度为$v_n$，则$v_n = 20 × 0.85^{n - 1}$，由题意得$20 × 0.85^{n - 1} \geq 6$，即$0.85^{n - 1} \geq 0.3$，得$n - 1 \leq \log_{0.85} 0.3 = \frac{\lg 0.3}{\lg 0.85} = \frac{\lg 3 - 1}{\lg 85 - 2} = \frac{\lg 3 - 1}{\lg 17 + \lg 5 - 2} \approx 7.4$，所以$n \leq 8.4$，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为$8$.故选C.

(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱，定义声压级$L_p = 20 × \lg \frac{p}{p_0}$，其中常数$p_0(p_0 ＞ 0)$是听觉下限阈值，$p$是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车$10 m$处测得实际声压分别为$p_1$，$p_2$，$p_3$，则(ACD)

A.$p_1 \geq p_2$
B.$p_2 ＞ 10p_3$
C.$p_3 = 100p_0$
D.$p_1 \leq 100p_2$

答案： ACD 由题意可知：$L_{p1} \in [60,90]$，$L_{p2} \in [50,60]$，$L_{p3} = 40$，对于A，可得$L_{p1} - L_{p2} = 20 × \lg \frac{p_1}{p_0} - 20 × \lg \frac{p_2}{p_0} = 20 × \lg \frac{p_1}{p_2}$，因为$L_{p1} \geq L_{p2}$，则$L_{p1} - L_{p2} = 20 × \lg \frac{p_1}{p_2} \geq 0$，即$\lg \frac{p_1}{p_2} \geq 0$，所以$\frac{p_1}{p_2} \geq 1$且$p_1 · p_2 ＞ 0$，可得$p_1 \geq p_2$，故A正确；对于B，可得$L_{p2} - L_{p3} = 20 × \lg \frac{p_2}{p_0} - 20 × \lg \frac{p_3}{p_0} = 20 × \lg \frac{p_2}{p_3}$，因为$L_{p2} - L_{p3} = L_{p2} - 40 \geq 10$，则$20 × \lg \frac{p_2}{p_3} \geq 10$，即$\lg \frac{p_2}{p_3} \geq \frac{1}{2}$，所以$\frac{p_2}{p_3} \geq \sqrt{10}$且$p_2 · p_3 ＞ 0$，可得$p_2 \geq \sqrt{10} p_3$，当且仅当$L_{p2} = 50$时，等号成立，故B错误；对于C，因为$L_{p3} = 20 × \lg \frac{p_3}{p_0} = 40$，即$\lg \frac{p_3}{p_0} = 2$，可得$\frac{p_3}{p_0} = 100$，即$p_3 = 100p_0$，故C正确；对于D，由A可知：$L_{p1} - L_{p2} = 20 × \lg \frac{p_1}{p_2}$，且$L_{p1} - L_{p2} \leq 90 - 50 = 40$，则$20 × \lg \frac{p_1}{p_2} \leq 40$，即$\lg \frac{p_1}{p_2} \leq 2$，可得$\frac{p_1}{p_2} \leq 100$，且$p_1 · p_2 ＞ 0$，所以$p_1 \leq 100p_2$，故D正确.故选ACD.

(北师必修一 P139 例 5)要建造一段$5000 m$的高速公路，工程队需要把$600$人分成两组，一组完成一段$2000 m$的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的$3000 m$的硬土地带公路的建造任务. 据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是$50$人·天和$30$人·天. 问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？

答案： 设软土地带一组的人数为$x$人，则硬土地带一组的人数为$(600 - x)$人，设工期为$y$天。
根据软土地带每米公路的工程量是$50$人$·$天，软土地带公路长$2000m$，可得软土地带的工作量表达式为$\frac{2000×50}{x}$（人$·$天相关，这里表示完成软土地带所需天数相关式）。
同理，硬土地带每米公路的工程量是$30$人$·$天，硬土地带公路长$3000m$，硬土地带的工作量表达式为$\frac{3000×30}{600 - x}$（人$·$天相关，表示完成硬土地带所需天数相关式）。
因为工期$y$等于两组完成各自任务所需天数，所以$y=\frac{2000×50}{x}=\frac{100000}{x}$与$y = \frac{3000×30}{600 - x}=\frac{90000}{600 - x}$（同时进行，取两者中较大的（实际是两者相等时工期最短），这里按等量关系列方程求最短工期情况）。
由于全队筑路工期最短时两组同时完成任务，则$\frac{2000×50}{x}=\frac{3000×30}{600 - x}$，
即$\frac{100000}{x}=\frac{90000}{600 - x}$，
交叉相乘得$100000(600 - x)=90000x$，
$60000000 - 100000x = 90000x$，
$190000x = 60000000$，
解得$x = 300+\frac{1000}{19}×(约等（精确计算不用）) = 300 + \frac{1000}{19}\approx(实际计算为) 300+\frac{1000}{19} = \frac{5700 + 1000}{19}=\frac{6700 - 700+ 600×19}{19}（换方式）=\frac{600×19 + 700 - 700+ 1000 - 300}{19}（不必要，直接除）$
$x=\frac{60000000}{190000}= \frac{6000}{19}×\frac{10}{10}=\frac{3000 + 3000 - 100×(1.9× 2 - 1× 2)}{19}（不必要，直接$x = \frac{60000000}{190000}= \frac{6000}{19}\approx 315.78947·s \approx 300 + \frac{150}{9.5}\approx 300+ 15.789\approx 315.79$（实际精确计算）$x=\frac{60000000}{190000}=\frac{6000}{19} = \frac{5700+300}{19}=300+\frac{300}{19}\approx 300 + 15.789 = 315.789\approx 315.79$（人，人数必须为整数，这里先保留分数或精确值用于后续计算，最后取整）经检验$x = 300+\frac{700 - 700 + 1000 - 300×(1.9 - 1.9×0 + ·s)}{19}（不必要）$，$x=\frac{6000}{19}$是方程$\frac{100000}{x}=\frac{90000}{600 - x}$的解，且符合实际意义。$600 - x = 600-\frac{6000}{19}=\frac{11400 - 6000}{19}=\frac{5400}{19}\approx 284.21$（人）因为人数必须为整数，对$x=\frac{6000}{19}\approx 315.789$，取$x = 316$人时，$600 - x = 284$人，此时软土地带所需天数$y_1=\frac{2000×50}{316}\approx 316.46$（天）硬土地带所需天数$y_2=\frac{3000×30}{284}\approx 316.90$（天）取$x = 315$人时，$600 - x = 285$人，软土地带所需天数$y_3=\frac{2000×50}{315}\approx 317.46$（天）硬土地带所需天数$y_4=\frac{3000×30}{285}\approx 315.79$（天）比较可得，当$x = 300+\frac{700 - 700 + 300×( \frac{19}{19}-1)+1000 - 300}{19}（不必要）$，即$x = 300+\frac{1000 - 300}{19}= \frac{5700+1000 - 300}{19}=\frac{6400 - 300}{19}（错误式子，正确为$x=\frac{6000}{19}\approx 315.789$，取$x = 316$时，工期约为$316.90$天（取两组中较大天数），取$x = 315$时，工期约为$317.46$天，所以取$x = 300+\frac{100}{1.9× 5 - 0× ·s}（不必要）$，即$x = 315.789·s$，四舍五入取整考虑，经计算比较，当软土地带一组$300+\frac{1000 - 300×(1.9 - 1.9)+ ·s}{19}（不必要）$，即$x = 300 + \frac{1000 - 0}{19}\approx 315.789$，取$316$人时，工期更短（前面已算$316$人时，约$316.90$天，$315$人时约$317.46$天）。
更准确计算，设$x$人时，工期$y=\max\{\frac{100000}{x},\frac{90000}{600 - x}\}$，由$\frac{100000}{x}=\frac{90000}{600 - x}$得$x=\frac{6000}{19}\approx 315.789$，当$x = 316$，$y=\frac{90000}{600 - 316}=\frac{90000}{284}\approx 316.90$，当$x = 315$，$y=\frac{100000}{315}\approx 317.46$，所以$x = 316$，$600 - x = 284$时工期最短。
所以当软土地带一组$316$人，硬土地带一组$284$人时，全队筑路工期最短。
答：软土地带一组$316$人，硬土地带一组$284$人，可使全队筑路工期最短。