《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 1 (多选题)(2025·河南南阳模拟)已知正数 $ m,n $ 满足 $ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2^{\frac{3}{2}} $，则(AD)

A.$ mn \geq \frac{1}{2} $
B.$ m^{2}+n^{2} \geq 2 $
C.$ m + n \geq \frac{3}{2} $
D.$ \exists m,n \in (0,+\infty),(\frac{m - n}{2mn})^{2} \geq mn $

答案： 对于A.$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2^{\frac{1}{2}}\geqslant 2\sqrt{\frac{1}{m}·\frac{1}{n}}$，则$mn\geqslant\frac{1}{2}$，当且仅当$m=n=\frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立，故A正确；对于B.应用重要不等式得$m^{2}+n^{2}\geqslant 2mn(m = n$时取得等号$)$，由A中$mn\geqslant\frac{1}{2}$，当$m = n=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取得等号，得$m^{2}+n^{2}\geqslant 2mn\geqslant 2×\frac{1}{2}=1($当$m = n=\frac{\sqrt{2}}{2}$时能取得等号$)$，即$m^{2}+n^{2}$的最小值为$1$，与$m^{2}+n^{2}\geqslant 2$矛盾，故B错误；对于C，因为$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2^{\frac{1}{2}}$，则$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}×(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=\frac{\sqrt{2}}{4}×(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=1$，$m + n=\frac{\sqrt{2}}{4}×(m + n)(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=\frac{\sqrt{2}}{4}×(2+\frac{m}{n}+\frac{n}{m})$，其中$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\geqslant 2\sqrt{\frac{m}{n}×\frac{n}{m}} = 2$，当且仅当$m = n=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取得等号，则$m + n\geqslant\sqrt{2}$，即$m + n$的最小值为$\sqrt{2}$，且$m + n=\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，故C错误；对于D.$(\frac{m - n}{2mn})^{2}\geqslant mn\Leftrightarrow(\frac{1}{m}-\frac{1}{n})^{2}\geqslant 4mn\Leftrightarrow(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})^{2}\geqslant 4mn+\frac{4}{mn}$，且$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2^{\frac{1}{2}}$，得$mn+\frac{1}{mn}\leqslant 2$，而$mn+\frac{1}{mn}\geqslant 2\sqrt{mn·\frac{1}{mn}} = 2$，当且仅当$mn = 1$时等号成立，即$\exists m,n\in(0,+\infty)$，$mn = 1$，$(\frac{m - n}{2mn})^{2}=mn$，故D正确.故选AD.

对点练 1.(1)已知 $ a,b $ 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(B)

A.$ \frac{2}{a + b} $
B.$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} $
C.$ \frac{2}{\sqrt{ab}} $
D.$ \sqrt{\frac{2}{a^{2}+b^{2}}} $

答案：
(1)因为$a,b$为互不相等的正实数，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞\frac{2}{\sqrt{ab}}$，$\frac{2}{\sqrt{ab}}＜\frac{2}{a + b}=2\sqrt{ab}$，$\frac{2}{\sqrt{ab}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}＜\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}＜\sqrt{\frac{2}{2ab}}=\frac{1}{\sqrt{ab}}＜\frac{2}{\sqrt{ab}}$，所以最大的是$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.故选B.

(2)(多选题)(2025·广西北海模拟)设正实数 $ a,b $ 满足 $ a + b = 1 $，则(ACD)

A.$ \sqrt{ab} $ 有最大值 $ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b} $ 有最小值 3
C.$ a^{2}+b^{2} $ 有最小值 $ \frac{1}{2} $
D.$ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ 有最大值 $ \sqrt{2} $

答案：
(2)对于A.由均值不等式可得$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，故A正确；对于B.由$\frac{2}{\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}}\leqslant\frac{(a + 2b)+(2a + b)}{2}=\frac{3(a + b)}{2}=\frac{3}{2}$，得$\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}\geqslant\frac{4}{3}$，当且仅当$a + 2b=2a + b$，即$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，故B错误；对于C.由$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geqslant\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，得$a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，故C正确；对于D.由$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a + b}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，故D正确.故选ACD.

(2)若 $ a,b,c $ 为正实数，且 $ a + b + c = 1 $，则 $ \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} $ 的最大值为$\sqrt{3}$。

答案：
(2)由柯西不等式，得$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\leqslant(a + b + c)(1 + 1 + 1)=3$，当且仅当$a = b = c=\frac{1}{3}$时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$的最大值为$\sqrt{3}$.

对点练2.(1)实数 $ x,y $ 满足 $ 3x^{2}+4y^{2}=12 $，则 $ z = 2x+\sqrt{3}y $ 的最小值是(A)

A.$ -5 $
B.$ -6 $
C.3
D.4

答案：
(1)因为实数$x,y$满足$3x^{2}+4y^{2}=12$，所以$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，所以$(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3})(16 + 9)\geqslant(2x+\sqrt{3}y)^{2}$，即$-5\leqslant2x+\sqrt{3}y\leqslant5$，当且仅当$\begin{cases}x=\frac{8}{5}\\-3\sqrt{3}x = 8y\\\end{cases}$，左边取等号，当$\begin{cases}x=-\frac{8}{5}\\y=-\frac{3\sqrt{3}}{5}\\\end{cases}$时，右边取等号，所以$z = 2x+\sqrt{3}y$的最小值是$-5$.故选A.

(2)若实数 $ x + 2y + 3z = 1 $，则 $ x^{2}+y^{2}+z^{2} $ 的最小值为(B)

A.14
B.$ \frac{1}{14} $
C.29
D.$ \frac{1}{29} $

答案：
(2)由柯西不等式，得$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(1 + 4 + 9)\geqslant(x + 2y+3z)^{2}=1$，即$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant\frac{1}{14}$，当且仅当$x=\frac{1}{14},y=\frac{1}{7},z=\frac{3}{14}$时等号成立，所以$x^{2}+y^{2}+z^{2}$的最小值为$\frac{1}{14}$.故选B.