《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 空间向量的有关概念

答案： 大小 方向 0 1 相同 相等 相反 相等 平行 重合 平面

2. 空间向量的运算
(1) 空间向量的加减法
(2) 空间向量的数乘运算
(3) 空间向量的数量积
① 两个向量的夹角：已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，在空间中任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$\angle AOB$叫作向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，记作$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，其范围是$0\leqslant\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\leqslant\pi$，若$\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle =\dfrac{\pi }{2}$，则称$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$互相垂直，记作$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}$.
② 两向量的数量积：已知两个空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，把$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$叫作$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积，记作$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}$，即$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=$$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
特殊地：$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{a}=\vert \boldsymbol{a}{\vert }^{2}={\boldsymbol{a}}^{2}$，$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=0$.
③ 空间向量数量积的运算律
结合律：$(\lambda \boldsymbol{a})· \boldsymbol{b}=\lambda (\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b})(\lambda \in \mathbf{R})$.
交换律：$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}· \boldsymbol{a}$.
分配律：$\boldsymbol{a}· (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}· \boldsymbol{c}$.
④ 投影向量与投影数量
(i) 已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，在空间任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，过点$B$作直线$OA$的垂线，垂足为点$B_{1}$，称向量$\overrightarrow{OB_1}$为向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$方向上的投影向量，其长度等于$|\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
(ii) 若用$\boldsymbol{a}_{0}$表示与向量$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}\neq \boldsymbol{0})$同方向的单位向量，则向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$方向上的投影向量为$\overrightarrow{OB_{1}}=\vert \boldsymbol{b}\vert \cos \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle {\boldsymbol{a}}_{0}$. 因此，称$\vert \boldsymbol{b}\vert \cos \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$为投影向量$\overrightarrow{OB_{1}}$的数量，也称为向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$方向上的投影数量.

答案： 2.
(3)①$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ $0\leqslant\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\leqslant\pi$ 互相垂直 ②$|\boldsymbol{a}|$ $|\boldsymbol{b}| \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ ③$\overrightarrow{OB_1}$ $|\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$