《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 函数的单调性与导数的关系

[微提醒] “$ f'(x) ＞ 0 $ 在 $ (a,b) $ 上成立”是“$ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 上单调递增”的充分不必要条件.

答案： 1.单调递增 单调递减 常数函数

2. 利用导数判断函数 $ y = f(x) $ 的单调性的步骤
第一步，确定函数的；
第二步，求出导函数 $ f'(x) $ 的；
第三步，用 $ f'(x) $ 的零点将 $ f(x) $ 的定义域划分为若干个区间，列表给出 $ f'(x) $ 在各区间上的正负，由此得出函数 $ y = f(x) $ 在定义域内的单调性.
[微提醒] 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

答案： 2.定义域 零点

1. (多选题) 下列说法正确的是 (BD)

A.函数 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内单调递增，那么一定有 $ f'(x) ＞ 0 $
B.如果 $ f(x) $ 在某个区间内恒有 $ f'(x) = 0 $，则 $ f(x) $ 在此区间内没有单调性
C.若函数 $ f(x) $ 在定义域上都有 $ f'(x) ＞ 0 $，则 $ f(x) $ 在定义域上一定单调递增
D.函数 $ f(x) = x - \sin x $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数

答案： 1.BD

2. (多选题) 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $，其导函数 $ f'(x) $ 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 (CD)


A.$ f(b) ＞ f(c) ＞ f(d) $
B.$ f(b) ＞ f(a) ＞ f(e) $
C.$ f(c) ＞ f(b) ＞ f(a) $
D.$ f(c) ＞ f(d) ＞ f(e) $

答案： 2.CD 由题意得，当$x \in (-\infty,c)$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，所以函数$f(x)$在$(-\infty,c)$上单调递增，因为$a ＜ b ＜ c$，所以$f(c) ＞ f(b) ＞ f(a)$.当$x \in (c,e)$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，所以函数$f(x)$在$(c,e)$上单调递减，因为$c ＜ d ＜ e$，所以$f(c) ＞ f(d) ＞ f(e)$.故选CD.

3. (链接北师选择性必修二 P84T1，改编) 函数 $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x $ 的单调递增区间是$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty)$.

答案： 3.$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty)$ 由$f^{\prime}(x)=3x^{2}+4x - 4=(3x - 2)(x + 2)＞0$，得$x ＜ -2$或$x ＞ \frac{2}{3}$，故$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty)$.

4. 若函数 $ f(x) = e^x - (a - 1)x + 1 $ 在 $ (0,1) $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围是$[e + 1,+\infty)$.

答案： 4.$[e + 1,+\infty)$ 由$f(x)=e^{x}-(a - 1)x + 1$，得$f^{\prime}(x)=e^{x}-(a - 1) \leq 0$，$x \in (0,1)$恒成立，所以$a - 1 \geq e^{x}$，$x \in (0,1)$恒成立，即$a - 1 \geq (e^{x})_{\max}$，即$a - 1 \geq e$，得$a \geq e + 1$，则实数$a$的取值范围是$[e + 1,+\infty)$.

1. 下列函数在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增的是 (B)

A.$ f(x) = \sin 2x $
B.$ f(x) = xe^x $
C.$ f(x) = x^3 - x $
D.$ f(x) = -x + \ln x $

答案： 1.B 对于A，$f^{\prime}(x)=2\cos 2x$，$f^{\prime}(\frac{\pi}{3})=-1 ＜ 0$，不符合题意；对于B，$f^{\prime}(x)=(x + 1)e^{x}＞0$，符合题意；对于C，$f^{\prime}(x)=3x^{2}-1$，$f^{\prime}(\frac{1}{3})=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}＜0$，不符合题意；对于D，$f^{\prime}(x)=-1+\frac{1}{x}$，$f^{\prime}(2)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}＜0$，不符合题意.故选B.

2. (2025·四川成都模拟) 函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 - \ln x $ 的单调递减区间为 (D)

A.$ (-1,1] $
B.$ [-1,1] $
C.$ [1, +\infty) $
D.$ (0,1] $

答案： 2.D 函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=x-\frac{1}{x}$，令$f^{\prime}(x) \leq 0$，解得$0 ＜ x \leq 1$，所以$f(x)$在$(0,1]$上单调递减.故选D.

3. 已知函数 $ f(x) $ 与 $ f'(x) $ 的图象如图所示，则函数 $ g(x) = \frac{f(x)}{e^x} $ 的单调递增区间为 (D)


A.$ (0,4) $
B.$ (-\infty, -1), (\frac{4}{3},4) $
C.$ (0,\frac{4}{3}) $
D.$ (-\infty,0), (1,4) $

答案： 3.D 易知$f(x)$过点$(0,0)$与$(\frac{4}{3},0)$.当$x ＜ 0$或$1 ＜ x ＜ 4$时，$f^{\prime}(x)＞f(x)$，即$g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)-f(x)}{e^{x}}＞0$，则函数$g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$的单调递增区间为$(-\infty,0),(1,4)$.故选D.