《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

测量中的几个有关术语

答案： 本题主要是对测量中几个有关术语的概念及图形表示进行阐述，无需进行传统意义上的解题步骤计算，以下为相关术语概念的总结作答：
仰角与俯角
术语意义：在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角。
图形表示：铅垂线与目标视线、水平视线构成直角三角形，仰角和俯角分别为目标视线与水平视线所成角。
方位角
术语意义：从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角，方位角$\theta$的范围是$0^{\circ}\leq\theta\lt360^{\circ}$。
图形表示：以正北方向为$0^{\circ}$，顺时针方向度量，如$135^{\circ}$东方向表示的方位角图形。
方向角
术语意义：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）$\alpha$。
图形表示：
北偏东$\alpha$：从正北方向线向东偏转$\alpha$角。
南偏西$\alpha$：从正南方向线向西偏转$\alpha$角。
坡角与坡比
术语意义：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（$\theta$为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即$i = \frac{h}{l}=\tan\theta$。
图形表示：直角三角形中，垂直高度为$h$，水平长度为$l$，坡角为$\theta$。

1. (多选题)下列说法中正确的是(ABD)

A.东南方向与南偏东$45^{\circ}$方向相同
B.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α=β
C.俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为$[0,\frac{\pi}{2}]$
D.方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系

答案： 1.ABD

2. 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle CAB = 105^{\circ}$后，可以计算出A，B两点的距离为(A)


A.$50\sqrt{2}$ m
B.$50\sqrt{3}$ m
C.$25\sqrt{2}$ m
D.$\frac{25\sqrt{2}}{2}$ m

答案： 2.A　因为$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle CAB = 105^{\circ}$，所以$\angle ABC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 105^{\circ} = 30^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，由正弦定理得$\frac{AB}{\sin\angle ACB} = \frac{AC}{\sin\angle ABC}$，即$\frac{AB}{\sin 45^{\circ}} = \frac{50}{\sin 30^{\circ}}$，解得$AB = 50\sqrt{2}$。所以$A$，$B$两点的距离为$50\sqrt{2} m$。故选A。

3. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东$40^{\circ}$，灯塔B在观察站南偏东$60^{\circ}$，则灯塔A在灯塔B的(B)

A.北偏东$10^{\circ}$
B.北偏西$10^{\circ}$
C.南偏东$10^{\circ}$
D.南偏西$10^{\circ}$

答案：
3.B　由题可知$AC = BC$，$\angle ACB = 80^{\circ}$，所以$\angle ABC = 50^{\circ}$，$A$，$B$，$C$位置关系如图,则灯塔$A$在灯塔$B$的北偏西$10^{\circ}$。故选B。
　　　　　　　　　　　

4. (链接北师必修二P123练习T1，改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC = BC = 1 km，且C = $120^{\circ}$，则A，B两点间的距离为$\sqrt{3}$ km。

答案： 4.$\sqrt{3}$　在$\triangle ABC$中，易得$A = 30^{\circ}$，由正弦定理$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$，得$AB = \frac{BC\sin C}{\sin A} = \frac{2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} km$。

5. (链接北师必修二P131T9，改编)如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为$60^{\circ}$，又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD = 300 m)，观测到山顶C处的仰角为$15^{\circ}$，山脚A处的俯角为$45^{\circ}$，则山高BC =450 m。

答案：
5.450　依题意$\angle AMD = 45^{\circ}$，则$MA = \sqrt{2}MD = 300\sqrt{2}$，$\angle CMA = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$，$\angle CAB = 60^{\circ}$，
　故$\angle MAC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}$，$\angle ACM = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$，在$\triangle MAC$中，由正弦定理得$\frac{AC}{\sin\angle CMA} = \frac{MA}{\sin\angle ACM}$，即$\frac{AC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{300\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}}$，解得$AC = 300\sqrt{3}$，则$BC = AC\sin 60^{\circ} = 450$。