《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. 若关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}+bx + 2＞0$ 的解集为 $\{x\mid -\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{3}\}$，则 $a + b =$-14 。

答案： 3.-14 依题意知$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3} $解得$\begin{cases} a = -12, \\ b = -2, \end{cases}$故a+b=-14.

4. 若不等式 $2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}＜0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围为(-3,0] 。

答案： 4.(-3,0] 当k=0时，满足题意；当$k\neq0$时，$\begin{cases} k＜0, \\ \Delta =k^{2}-4×2k×(-\frac{3}{8})＜0. \end{cases}$解得-3＜k＜0，所以-3＜k\leq0，即实数k的取值范围为(-3,0].

1. 已知函数 $f(x)=ax^{2}+bx + c(a,b,c\in\mathbf{R})$，若 $f(x)＞0$ 的解集为 $\{x\mid - 3＜x＜5\}$，则 (A)

A.$a＜0$，$2c - 15b = 0$
B.$a＞0$，$2c - 15b = 0$
C.$a＜0$，$2c + 15b = 0$
D.$a＞0$，$2c + 15b = 0$

答案： 1.A 因为f(x)＞0的解集为$\{x\mid -3＜x＜5\}，$所以a＜0，且-3,5是方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根，所以$-3+5=-\frac{b}{a}，$$-3×5=\frac{c}{a}，$所以b=-2a,c=-15a，所以2c-15b=0.故选A.

2. (2025·河北保定模拟)设集合 $A=\{x\mid - 3\leq x\leq3\}$，$B=\{x\mid 2x^{2}+(a - 8)x - 4a\leq0\}$，且 $A\cap B=\{x\mid - 2\leq x\leq3\}$，则 $a =$ (C)

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： 2.C 因为$A∩B=\{x\mid -2\leq x\leq3\}，$所以-2是方程$2x^{2}+(a-8)x-4a=0$的根，即8-2(a-8)-4a=0，得a=4，当a=4时，$2x^{2}-4x-16\leq0，$解得$-2\leq x\leq4，$此时$B=\{x\mid -2\leq x\leq4\}，$满足$A∩B=\{x\mid -2\leq x\leq3\}，$所以a=4.故选C.

3. (多选题)若不等式 $ax^{2}-bx + c＞0$ 的解集是 $(-1,2)$，则下列选项正确的是 (AB)

A.$a＜0$
B.$b＜0$ 且 $c＞0$
C.$a + b + c＞0$
D.不等式 $ax^{2}-cx + b＜0$ 的解集是 $\mathbf{R}$

答案： 3.AB 由题意，不等式$ax^{2}-bx+c＞0$的解集是(-1,2)，可得-1,2是方程$ax^{2}-bx+c=0$的两个根，且a＜0，所以\begin{cases} -1+2=\frac{b}{a}, \\ -1×2=\frac{c}{a}, \end{cases}故A正确；则b=a,c=-2a，所以b＜0,c＞0，故B正确；当x=-1时，a+b+c=0，故C不正确；把b=a,c=-2a代入$ax^{2}-cx+b$＜0，可得ax^{2}+2ax+a＜0，因为a＜0，所以x^{2}+2x+1＞0，即$(x+1)^{2}＞0，$此不等式的解集为$\{x\mid x\neq -1\}，$故D不正确.故选AB.

典例 1(1)(2025·安徽阜阳期末)已知集合 $A=\{x\mid x^{2}+x - 2\leq0\}$，$B=\{x\mid \frac{x - 2}{x + 1}\geq0\}$，则 $A\cap B =$ (D)

A.$\{x\mid - 2\leq x\leq2\}$
B.$\{x\mid - 2\leq x\leq1\}$
C.$\{x\mid - 2\leq x\leq - 1\}$
D.$\{x\mid - 2\leq x＜ - 1\}$

答案： 典例$1 (1)D A=\{x\mid -2\leq x\leq1\}，$而$B=\{x\mid x＜-1，或x\geq2\}，$故$A∩B=\{x\mid -2\leq x＜-1\}.$故选D.

(2)(一题多变)解关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}-(a + 1)x + 1＜0(a\in\mathbf{R})$。

答案：
(2)解：原不等式变为(ax-1)(x-1)＜0，
①当a＞0时，原不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x-1)$＜0，所以当a＞1时，解得$\frac{1}{a}＜x＜1；$
当a=1时，解集为$\varnothing；$当0＜a＜1时，解得1＜x＜\frac{1}{a}
②当a=0时，原不等式等价于-x+1＜0，即x＞1.
③当a＜0时，\frac{1}{a}＜1，原不等式可化为(x-\frac{1}{a})(x-1)＞0，解得x＞1或x＜\frac{1}{a}
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为$\{x\mid 1＜x＜\frac{1}{a}\}；$
当a＞1时，不等式的解集为$\{x\mid \frac{1}{a}＜x＜1\}；$
当a=0时，不等式的解集为$\{x\mid x＞1\}；$
当a＜0时，不等式的解集为\{x\mid x＜\frac{1}{a}，或x＞1\}.

[变式探究]
(变条件)本例(2)变为：解关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-(a + 1)x + a\geq0$。

答案： [变式探究] 解：因为$x^{2}-(a+1)x+a\geq0，$
即$(x-a)(x-1)\geq0，$
当a＞1时，解得$x\geq a$或$x\leq1；$
当a=1时，$(x-1)^{2}\geq0，$所以不等式的解集为R；
当a＜1时，解得$x\geq1$或$x\leq a.$
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为$(-\infty,1]\cup[a,+\infty)；$当a=1时，不等式的解集为R；当a＜1时，不等式的解集为$(-\infty,a]\cup[1,+\infty).$

对点练 1(1)(多选题)下列说法正确的是 (ABD)
A. 不等式 $x^{2}-12x + 20＞0$ 的解集为 $\{x\mid x＜2$，或 $x＞10\}$
B. 不等式 $x^{2}-5x + 6＜0$ 的解集为 $\{x\mid 2＜x＜3\}$
C. 不等式 $9x^{2}-6x + 1＞0$ 的解集为 $\mathbf{R}$
D. 不等式 $-2x^{2}+2x - 3＞0$ 的解集为 $\varnothing$
(2)解关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-ax + 1\leq0$。

答案： 对点练1.
(1)ABD 对于A，不等式$x^{2}-12x+20＞0$的解集为\{$x\mid x$＜2，或x＞10\}，故A正确；对于B，不等式$x^{2}-5x+6$＜0的解集为\{x\mid 2＜x＜3\}，故B正确；对于C，不等式9x^{2}-6x+1＞0的解集为$\{x\mid x\neq \frac{1}{3}\}，$故C错误；对于D，不等式$-2x^{2}+2x-3＞0，$即$(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{4}＜0，$解集为$\varnothing，$故D正确.故选ABD.
(2)解：由题意知，$\Delta=a^{2}-4，$
①当$a^{2}-4＞0，$即a＞2或a＜-2时，
方程$x^{2}-ax+1=0$的两根为$x=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-4}}{2}$
所以解集为$\{x\mid \frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\}$
②若$\Delta=a^{2}-4=0，$则$a=\pm2.$
当a=2时，原不等式可化为$x^{2}-2x+1\leq0，$即$(x-1)^{2}\leq0，$所以x=1；
当a=-2时，原不等式可化为$x^{2}+2x+1\leq0，$即$(x+1)^{2}\leq0，$所以x=-1.
③当$\Delta=a^{2}-4＜0，$即-2＜a＜2时，原不等式的解集为$\varnothing.$
综上，当a＞2或a＜-2时，原不等式的解集为$\{x\mid \frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\}；$
当a=2时，原不等式的解集为\{1\}；
当a=-2时，原不等式的解集为\{-1\}；
当-2＜a＜2时，原不等式的解集为$\varnothing.$