《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1.若a＜0,b＜0,则p=$\frac{b2}{a}$+$\frac{a?}{6}$与q=a十b的大小关
系为 (B)
A.p＜q B.p≤q C.p＞q D.p≥q
2.(2025.浙江金华模拟)设a,b,c的平均数为M,a
与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a＞b ＞c,则 (B)
A.N＜P B.P＜M
C.N＜M D.M+N＜2P
3.e".πe与ee.π"的大小关系为$e^x·\pi^x＜e^x·\pi^x$.

答案： 1.B $p - q=\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}-a - b=\frac{b^2 - a^2}{a}+\frac{a^2 - b^2}{b}=(b^2 - a^2)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})=(b^2 - a^2)\frac{b - a}{ab}=\frac{(b - a)^2(b + a)}{ab}$，因为$a ＜ 0,b ＜ 0$，所以$a + b＜0,ab＞0$。若$a = b$，则$p - q = 0$，故$p = q$；若$a\neq b$，则$p - q＜0$，故$p＜q$，综上，$p\leq q$，故选B。 2.B 根据题意得，$M=\frac{a + b + c}{3}$，$N=\frac{a + b}{2}$，$P=\frac{N + c}{2}=\frac{\frac{a + b}{2}+c}{2}=\frac{a + b + 2c}{4}$，对于$A,N - P=\frac{a + b}{2}-\frac{a + b + 2c}{4}=\frac{a + b - 2c}{4}$，因为$a＞b＞c$，所以$a - c＞0,b - c＞0$，所以$a + b - 2c＞0$，所以$N - P=\frac{a + b - 2c}{4}＞0$，所以$N＞P$，故A错误；对于$B,M - P=\frac{a + b + c}{3}-\frac{a + b + 2c}{4}=\frac{a + b - 2c}{12}$，因为$a＞b＞c$，所以$a - c＞0,b - c＞0$，所以$a + b - 2c＞0$，所以$M - P=\frac{a + b - 2c}{12}＞0$，所以$M＞P$，故B正确；对于$C,M - N=\frac{a + b + c}{3}-\frac{a + b}{2}=\frac{a + b + c}{3}-\frac{3a + 3b}{6}=\frac{2a + 2b + 2c - 3a - 3b}{6}=\frac{-a - b + 2c}{6}$，因为$a＞b＞c$，所以$c - a＜0,c - b＜0$，所以$2c - a - b＜0$，所以$M - N=\frac{-a - b + 2c}{6}＜0$，所以$M＜N$，故C错误；对于$D$，因为$M＞P,N＞P$，所以$M + N＞2P$，故D错误，故选B。 3.$e^x·\pi^x＜e^x·\pi^x$ $\frac{e^x·\pi^x}{e^x·\pi^x}=\frac{e^x}{e^x}·\frac{\pi^x}{\pi^x}=(\frac{e}{\pi})^x$，又$0＜\frac{e}{\pi}＜1,0＜\pi - e＜1$，所以$(\frac{e}{\pi})^x$，$1$，所以$(\frac{e}{\pi})^x＜1$，即$\frac{e^x·\pi^x}{e^x·\pi^x}＜1$，即$e^x·\pi^x＜e^x·\pi^x$。

那么下列不等式成立的是 (D)

A.$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{6}$
B.ab＜b²
C.$\frac{b}{a}$＞$\frac{a}{b}$
D.$\frac{a+b}{6}$＞1

答案： 1
(1)D 对于$A$，$-2＜-1＜0$，而$-\frac{1}{2}＞-1$，故A不成立；对于$B$，$-2＜-1＜0$，而$(-2)×(-1)＞(-1)^2$，故B不成立；对于$C$，$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{b^2 - a^2}{ab}$，因为$a ＜ b＜0$，所以$ab＞0,a^2＞b^2$，$\frac{a}{b}＜0$，即$\frac{b}{a}＜\frac{a}{b}$，故C不成立；对于$D$，$\frac{a + b}{1}=\frac{a}{b}$，因为$a ＜ b＜0$，所以$\frac{a}{b}＞0$，即$\frac{a + b}{b}＞1$，故D成立，故选D。

(2)(多选题)(2025.安徽淮北模拟)已知a,b,c∈
R,下列命题为真命题的是 (BD)

A.若a＞b＞c,则a+b＞c
B.若a＞b＞|c|,则a²＞b²＞c²
C.若a＜b＜c＜0,则$\frac{C}{a}$＞$\frac{C}{6}$
D.若a＞b＞c＞0,则$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+c}{+c}$

答案： 1
(2)BD 当$b$为负数时，例如$-2＞-3＞-4$，但$-2+(-3)＞-4$是错误的，故A错误；因为$a＞b＞|c|\geq0$，根据不等式性质可得$a^2＞b^2＞c^2$，故B正确；因为$a＜b＜0$，所以$\frac{1}{ab}＞0$，所以$a·\frac{1}{ab}＜b·\frac{1}{ab}＜0$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，所以$\frac{c}{a}＞\frac{c}{b}＞0$，故C错误；因为$a＞b＞c＞0$，所以$\frac{b}{a}-\frac{b + c}{a + c}=\frac{b(a + c)-a(b + c)}{a(a + c)}=\frac{ab+bc - ab - ac}{a(a + c)}=\frac{c(b - a)}{a(a + c)}＜0$，所以$\frac{b}{a}＜\frac{b + c}{a + c}$，故D正确，故选BD。

的是 (A)
A.1−x＜1−y B.x²＞y2
C.|$\frac{x}{y}$|＞1 D.xz＞yz
(2)(多选题)(2025.湖南长沙模拟)设a,b,c,d
为实数,且a＞b＞0＞c＞d,则下列不等式正确
的有 (AD)
A.c²＜cd B.a−c＜b−d
C.ac＜bd D.$\frac{C}{a}$−$\frac{d}{6}$＞o

答案： 对点练1.
(1)A
(2)AD
(1)因为$x＞y$，所以$-x＜-y$，所以$-x + 1＜-y + 1$，即$1 - x＜1 - y$，故A正确；当$x = -1,y = -2$时，满足$x＞y$，但$x^2 = 1,y^2 = 4$，此时$x^2＜y^2$，$\frac{x}{y}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}＜1$，故B，C错误；当$z＜0$时，由$x＞y$可得$xz＜yz$，故D错误，故选A。
(2)对于$A$，由$0＞c＞d$和不等式性质可得$c^2＜cd$，故A正确；对于$B$，$C$，因为$a＞b＞0＞c＞d$，若取$a = 2,b = 1,c = -1,d = -2$，则$a - c = b - d$，$ac = bd$，故$C$错误；对于$D$，因为$a＞b＞0$，则$0＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，又因为$0＞c＞d$，则$0＜-c＜-d$，由不等式的同向同正可乘性，得$-\frac{c}{a}＜\frac{-d}{b}$，$\frac{c}{a}＜\frac{d}{b}$，即$\frac{-c}{a}＜\frac{-d}{b}$，$\frac{c}{a}＜\frac{d}{b}$，故D正确，故选AD。

y的取值范围是$(-4,2)$,3x+2y的取值范围是
$(1,18)$.

答案： 典例2 $(-4,2)$ $(1,18)$ 因为$-1＜x＜4,2＜y＜3$，所以$-3＜-y＜-2$，所以$-4＜x - y＜2$，则$x - y$的取值范围是$(-4,2)$，由$-1＜x＜4$，$4＜2y＜6$，所以$1＜3x + 2y＜18$，故$3x + 2y$的取值范围是$(1,18)$。

[变式探究]

答案： 由于您未提供具体的题目内容，无法进行解答。请您补充题目信息后再次提问。

1.(变结论)本例条件不变,则|$\frac{x}{y}$|的取值范围是
[0,2).

答案： 1.$[0,2)$ 由题意$0\leq|x|＜4$，$\frac{1}{a}＜\frac{1}{3}＜\frac{1}{y}＜\frac{1}{2}$，则$0\leq\frac{x}{a}＜\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}＜\frac{y}{2}$，$\frac{x}{y}$，$0＜\frac{x}{y}＜2$。

2.(变条件)若将本例中条件改为−1＜x十y＜4,2＜
x−y＜3,则3x+2y的取值范围为$(-\frac{3}{2},\frac{23}{2})$.

答案： 2.$(-\frac{3}{2},\frac{23}{2})$ 设$3x + 2y = m(x + y)+n(x - y)$，则$\begin{cases}m + n = 3,\\m - n = 2.\end{cases}$所以$m=\frac{5}{2}$，$n=\frac{1}{2}$，即$3x + 2y=\frac{5}{2}(x + y)+\frac{1}{2}(x - y)$，又因为$-1＜x + y＜4$，$2＜x - y＜3$，所以$-\frac{5}{2}(x + y)＜10,1＜\frac{1}{2}(x - y)＜\frac{3}{2}$，所以$-\frac{5}{2}(x + y)+\frac{1}{2}(x - y)＜\frac{23}{2}$，即$-\frac{3}{2}＜3x + 2y＜\frac{23}{2}$，所以$3x + 2y$的取值范围为$(-\frac{3}{2},\frac{23}{2})$。

≤3,4≤2x−y≤9,则 (AC)

A.1≤x≤4
B.−2≤y≤1
C.2≤4x+y≤15
D.$\frac{1}{3}$≤x−y≤6

答案：
(1)AC 因为$-1\leq x + y\leq3,4\leq2x - y\leq9$，所以$3\leq3x\leq12$，所以$1\leq x\leq4$，故A正确；因为$\begin{cases}-6\leq - 2x - 2y\leq2,\\4\leq2x - y\leq9,\end{cases}$所以$-2\leq - 3y\leq11$，解得$-\frac{11}{3}\leq y\leq\frac{2}{3}$，故B错误；因为$4x + y = 2(x + y)+(2x - y)$，$-2\leq2(x + y)\leq6$，$4\leq2x - y\leq9$，所以$2\leq4x + y\leq15$，故C正确；因为$x - y=-\frac{1}{3}(x + y)+\frac{2}{3}(2x - y)$，$-1\leq-\frac{1}{3}(x + y)\leq\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}\leq\frac{2}{3}(2x - y)\leq6$，所以$\frac{5}{3}\leq x - y\leq\frac{19}{3}$，故D错误，故选AC。

(2)已知实数a,b,c满足a＞b＞c,且a+b+c=0,
那么

$\frac{C}{a}$

的取值范围是$(-2,-\frac{1}{2})$.
请完成课时测评3

答案：
(2)$(-2,-\frac{1}{2})$
(2)由于$a＞b＞c$，且$a + b + c = 0$，所以$a＞0,c＜0,b=-a - c$，$-a - c＜a$，$2a＞-c$，$\frac{c}{a}＞ - 2$，$-a - c＞c$，$-a＞2c$，$\frac{c}{a}＜-\frac{1}{2}$，所以$-2＜\frac{c}{a}＜-\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{a}$的取值范围是$(-2,-\frac{1}{2})$。