《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)(2025·四川雅安模拟)已知函数$f(x)=(\mathrm{e}^{x}-\frac{a}{\mathrm{e}^{x}})\cos 2x$是偶函数，则实数$a=$(B)
A. $1$ B. $-1$ C. $2$ D. $-2$
(2)已知函数$f(x)$是奇函数，函数$g(x)$是偶函数. 若$f(x)-g(x)=x\sin x$，则$f(\frac{2024\pi}{3})=$(C)
A. $\frac{2024\pi}{3}$ B. $-\frac{2024\pi}{3}$
C. $0$ D. $-1$
(3)函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(2)=0$，则不等式$\frac{f(x)-2f(-x)}{x}\gt0$的解集为$$$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$$$.

答案：
对点练1.
(1)B
(2)C
(3)$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$
(1)因为$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的偶函数，所以$f(-x)=(-ae^{x}+\frac{1}{e^{x}})\cos(-2x)=(-ae^{x}+\frac{1}{e^{x}})\cos2x=f(x)=(e^{x}-\frac{a}{e^{x}})\cos2x$，所以$-ae^{x}+\frac{1}{e^{x}}=e^{x}-\frac{a}{e^{x}}$，即$a(e^{x}-\frac{1}{e^{x}})=\frac{1}{e^{x}}-e^{x}$，则$(a + 1)(e^{x}-\frac{1}{e^{x}})=0$恒成立，所以$a + 1 = 0$，解得$a = -1$.故选B.
(2)由函数$f(x)$是奇函数，函数$g(x)$是偶函数，$f(x)-g(x)=x\sin x$，故$f(-x)-g(-x)=-x\sin(-x)$，即$-f(x)-g(x)=x\sin x$，将该式和$f(x)-g(x)=x\sin x$相减可得$f(x)=0$，则$f(\frac{2024\pi}{3})=0$.故选C.
(3)由于$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，所以$f(0)=0$，又$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(2)=0$，所以$f(x)$的大致图象如图所示，由$f(-x)=-f(x)$可得，$\frac{f(x)-2f(-x)}{x}=\frac{f(x)+2f(x)}{x}=\frac{3f(x)}{x}＞0$，当$x＜0$时，只需$f(x)＜0$，由图象可知$x＜-2$；当$x＞0$时，只需$f(x)＞0$，由图象可知$x＞2$；综上，不等式的解集为$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$.

(1)(2025·河南焦作模拟)已知定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$满足$f(x + 3)=-\frac{1}{f(x)}$，若$f(-1)=2$，则$f(2032)=$(A)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$2$

答案： 典例4
(1)A
(2)C
(1)由$f(x + 3)=-\frac{1}{f(x)}$，得$f(x + 6)=-\frac{1}{f(x + 3)}=\frac{1}{f(x)}$，所以$f(x + 6)=f(x)$，所以$T = 6$是函数$f(x)$的一个周期，所以$f(2032)=(338×6 + 4)=f(4)=-\frac{1}{f(1)}$，又$f(x)$是偶函数且$f(-1)=2$，所以$f(1)=2$，即$f(2032)=-\frac{1}{2}$.故选A.

(2)设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上且满足$f(x + 1)=f(x - 1)$的偶函数，当$x\in[2,3]$时，$f(x)=x$，则$x\in[-2,0]$时，$f(x)=$(C)

A.$x + 4$
B.$2 - x$
C.$3 - |x + 1|$
D.$2 - |x + 1|$

答案：
(2)因为$f(x)$满足$f(x + 1)=f(x - 1)$，所以$f(x)$是周期为$2$的偶函数，$x\in[2,3]$时，$f(x)=x$，所以$x\in[-2,-1)$时，$(2 + x)\in[0,1)$，$(4 + x)\in[2,3)$，此时$f(x)=f(4 + x)=4 + x$；当$x\in[-1,0]$时，$-x\in[0,1]$，$(2 - x)\in[2,3]$，此时$f(x)=f(-x)=f(2 - x)=2 - x$，所以$f(x)=\begin{cases}4 + x = 3 - |x + 1|,-2\leqslant x＜-1\\2 - x = 3 - |x + 1|,-1\leqslant x\leqslant0\end{cases}$综上可得，$x\in[-2,0]$时，$f(x)=3 - |x + 1|$.故选C.

[变式探究]

答案： 答题卡：
设函数$f(x)$满足$f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$，对于所有$x \in \mathbb{R}$。
由于$f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$，将$x + 2$代入$x$，得到：
$f(x + 4) = -\frac{1}{f(x + 2)}$，
由于$f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$，代入上式得：
$f(x + 4) = -\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x)$，
由此可知，函数$f(x)$的周期为$4$。
如果$f(x)$是偶函数，那么对于所有$x \in \mathbb{R}$，都有$f(-x) = f(x)$。
如果$f(x)$是奇函数，那么对于所有$x \in \mathbb{R}$，都有$f(-x) = -f(x)$。
结合函数的周期性，可以得出：
如果$f(x)$是偶函数，那么它也是周期为$4$的偶函数；
如果$f(x)$是奇函数，那么它也是周期为$4$的奇函数。
最终结论：
函数$f(x)$的周期为$4$；
如果$f(x)$是偶函数，则它满足$f(-x) = f(x)$；
如果$f(x)$是奇函数，则它满足$f(-x) = -f(x)$。

1. (变条件)本例(1)中$f(x + 3)=-\frac{1}{f(x)}$改为$f(x + 3)=-\frac{1}{1 + f(x)}$，其余条件不变，则$f(2032)=$$-\frac{3}{2}$$$.

答案： 1.$-\frac{3}{2}$ 由$f(x + 3)=-\frac{1}{1 + f(x)}$，得$f(x + 6)=-\frac{1}{1 + f(x + 3)}=-1+[1 + f(x)]=f(x)$，所以$T = 9$是函数$f(x)$的一个周期，所以$f(2032)=(226×9 - 2)=f(-2)$，由$f(-2 + 3)=-\frac{1}{1 + f(-2)}$，即$f(-2)=-\frac{1}{1 + f(1)}$，又$f(x)$是偶函数且$f(-1)=2$，所以$f(1)=2$，即$f(-2)=-\frac{1}{1 + f(1)}$，所以$f(2032)=-\frac{3}{2}$.

2. (变条件)本例(2)中$f(x + 1)=f(x - 1)$改为$f(x + 1)=2f(x - 1)$，其余条件不变，$f(x)$的解析式为$f(x)=$$\frac{1}{4}x + 1,-2\leqslant x＜-1$$$.

答案： 2.$\frac{1}{4}x + 1,-2\leqslant x＜-1$ 因为$f(x + 1)=2f(x - 1)$，所以$f(x + 2)=\frac{1}{2}f(x)$，即$f(x)=\frac{1}{2}f(x + 2)$，$f(x + 2)=\frac{1}{2}f(x + 4)$，$x\in[2,3]$时，$f(x)=x$，所以$x\in[-2,-1)$时，$(2 + x)\in[0,1)$，$(4 + x)\in[2,3)$，此时$f(x)=\frac{1}{4}f(4 + x)=\frac{1}{4}(4 + x)=1+\frac{1}{4}x$；当$x\in[-1,0]$时，$-x\in[0,1]$，$(2 - x)\in[2,3]$，此时$f(x)=f(-x)=\frac{1}{2}f(2 - x)=\frac{1}{2}(2 - x)=1-\frac{1}{2}x$，所以$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{4}x + 1,-2\leqslant x＜-1\\1-\frac{1}{2}x,-1\leqslant x\leqslant0\end{cases}$

(1)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，对任意$x$都有$f(x + 4)=f(x)$，当$x\in(-1,3]$时，$f(x)=\begin{cases}\mathrm{e}^{1 - x},-1\lt x\leqslant1,\\1+\ln x,1\lt x\leqslant3,\end{cases}$则$f(f(2024))=$( )
A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $\mathrm{e}$
(2)(多选题)(2025·福建泉州模拟)设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$f(x + 2)=-f(x)$，当$0\leqslant x\leqslant1$时，$f(x)=x$，则下列说法正确的是()
A. $f(\pi)=4 - \pi$
B. $f(x)$是周期为$4$的周期函数
C. 当$1\leqslant x\leqslant3$时，$f(x)=2 - x$
D. 当$-4\leqslant x\leqslant4$时，方程$f(x)=m(-1\leqslant m\lt0)$的所有实根之和为$4$

答案：
对点练2.
(1)C
(2)BC
(1)$f(x + 4)=f(x)$，故$f(2024)=f(0)=e$，所以$f(f(2024))=f(e)=1+\ln e = 2$.故选C.
(2)由$f(x + 2)=-f(x)$得$f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)$，则周期$T = 4$，故B正确；又当$0\leqslant x\leqslant1$时，$f(x)=x$，所以$f(\pi)=f(\pi - 4)=-f(4 - \pi)=\pi - 4$，故A错误；当$-1\leqslant x\leqslant0$时，则$0\leqslant -x\leqslant1$，又$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=-(-x)=x$，所以当$-1\leqslant x\leqslant1$时，$f(x)=x$，当$1\leqslant x\leqslant3$时，则$-1\leqslant x - 2\leqslant1$，因为$f(x + 2)=-f(x)$，所以$f(x)=-(x - 2)=2 - x$，故C正确；作出函数$f(x)$在$[-4,4]$的图象，如图.

则$f(x)$的最小值为$-1$，若$m=-1$，则方程$f(x)=m$在$[-4,4]$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，则$x_{1}+x_{2}=2$，若$-1＜m＜0$，则方程$f(x)=m$在$[-4,4]$的解共有$4$个，设从小到大依次为$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$，根据对称性可知$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{3}+x_{4}=6$，所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=4$，故D错误.故选BC.

(2023·新课标Ⅱ卷)若$f(x)=(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$a=$(B)

A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

答案： [考教衔接 精研教材]
真题再现 B 要使函数$f(x)$有意义，必须满足$\frac{2x - 1}{2x + 1}＞0$，解得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{1}{2}$，因为函数$f(x)$是偶函数，所以对任意$x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$，都有$f(-x)=f(x)$，即$(-x + a)\ln\frac{-2x - 1}{-2x + 1}=(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$，则$(x - a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}=(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$对任意$x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$恒成立，所以$a = 0$，故选B.