《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列说法正确的是(CD)

A.当直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 的斜率都存在时，一定有 $ k_1 = k_2 \Rightarrow l_1 // l_2 $
B.如果两条直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 垂直，则它们的斜率之积一定等于 $ -1 $
C.若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交
D.直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离

答案： CD

2. (链接北师选择性必修一 P19T1)直线 $ 3x - y + 5 = 0 $ 与直线 $ 6x - 2y + 10 = 0 $ 的位置关系是(C)

A.相交但不垂直
B.平行
C.重合
D.垂直

答案： C　直线$6x - 2y + 10 = 0$可化为$3x - y + 5 = 0$，所以直线$3x - y + 5 = 0$与直线$6x - 2y + 10 = 0$的位置关系是重合.故选C;

3. (链接北师选择性必修一 P25 练习 T4)若直线 $ 2x - y - 3 = 0 $ 与 $ 4x - 2y + a = 0 $ 之间的距离为 $ \sqrt{5} $，则 $ a $ 的值为(C)

A.$ 4 $
B.$ \sqrt{5} $ 或 $ -6 $
C.$ 4 $ 或 $ -16 $
D.$ 8 $ 或 $ -16 $

答案： C　将直线$2x - y - 3 = 0$化为$4x - 2y - 6 = 0$，则直线$2x - y - 3 = 0$与直线$4x - 2y + a = 0$之间的距离$d = \frac{\vert a - (-6)\vert}{\sqrt{16 + 4}} = \frac{\vert a + 6\vert}{2\sqrt{5}}$，根据题意可得：$\frac{\vert a + 6\vert}{2\sqrt{5}} = \sqrt{5}$，即$\vert a + 6\vert = 10$，解得$a = 4$或$a = -16$，所以$a$的值为$4$或$-16$.故选C.

4. (链接北师选择性必修一 P26B 组 T7)与直线 $ 3x - 4y + 5 = 0 $ 关于 $ x $ 轴对称的直线的方程为(B)

A.$ 3x + 4y - 5 = 0 $
B.$ 3x + 4y + 5 = 0 $
C.$ 3x - 4y + 5 = 0 $
D.$ 3x - 4y - 5 = 0 $

答案： B　设所求对称直线上点的坐标为$(x,y)$，关于$x$轴的对称点的坐标$(x,-y)$在已知的直线上，所以所求对称直线的方程为$3x + 4y + 5 = 0$.故选B.

1. 已知直线 $ l_1:ax + (a - 1)y + 3 = 0 $，$ l_2:2x + ay - 1 = 0 $，若 $ l_1 \perp l_2 $，则实数 $ a $ 的值是(A)

A.$ 0 $ 或 $ -1 $
B.$ -1 $ 或 $ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $

答案： A　由题意可知$l_1\perp l_2$，故$2a + a(a - 1) = 0$，解得$a = 0$或$a = -1$，经验证，符合题意.故选A.

2. (2025·湖北武汉调研)设 $ \lambda \in \mathbf{R} $，则“$ \lambda = 1 $”是“直线 $ 3x + (\lambda - 1)y = 1 $ 与直线 $ \lambda x + (1 - \lambda)y = 2 $ 平行”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： A　若直线$3x + (\lambda - 1)y = 1$与直线$\lambda x + (1 - \lambda)y = 2$平行，则$3(1 - \lambda) - \lambda(\lambda - 1) = 0$，解得$\lambda = 1$或$\lambda = -3$，经检验，$\lambda = 1$或$\lambda = -3$时两直线平行，故“$\lambda = 1$”是“直线$3x + (\lambda - 1)y = 1$与直线$\lambda x + (1 - \lambda)y = 2$平行”的充分不必要条件.故选A.

3. 已知三条直线 $ 2x - 3y + 1 = 0 $，$ 4x + 3y + 5 = 0 $，$ mx - y - 1 = 0 $ 不能构成三角形，则实数 $ m $ 的取值集合为(D)

A.$ \left\{ -\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3} \right\} $
B.$ \left\{ -\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3} \right\} $
C.$ \left\{ \dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3} \right\} $
D.$ \left\{ -\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3} \right\} $

答案： D　由题意得直线$mx - y - 1 = 0$与$2x - 3y + 1 = 0$或$4x + 3y + 5 = 0$平行，或者直线$mx - y - 1 = 0$过$2x - 3y + 1 = 0$与$4x + 3y + 5 = 0$的交点.当直线$mx - y - 1 = 0$与$2x - 3y + 1 = 0$或$4x + 3y + 5 = 0$平行时，$m = \frac{2}{3}$或$m = -\frac{4}{3}$；当直线$mx - y - 1 = 0$过$2x - 3y + 1 = 0$与$4x + 3y + 5 = 0$的交点$(-1,\frac{1}{3})$时，$m = -\frac{2}{3}$.所以实数$m$的取值集合为$\{-\frac{4}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\}$.故选D.