《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. 反函数
指数函数$y = a^{x}$($a＞0$，且$a\neq1$)与对数函数$y=\log_{a}x$($a＞0$，且$a\neq1$)互为反函数，它们的图象关于直线$y=x$对称.它们的定义域和值域正好互换.

答案： 2.$y=\log_{a}x$ $y=x$

1. (多选题)下列结论正确的是(BD)

A.函数$y=\log_{2}(x + 1)$是对数函数
B.函数$y=\ln\frac{1 + x}{1 - x}$与$y=\ln(1 + x)-\ln(1 - x)$的定义域相同
C.当$x＞1$时，若$\log_{a}x＞\log_{b}x$，则$a＜b$
D.对数函数$y=\log_{a}x$($a＞0$，且$a\neq1$)的图象过定点$(1,0)$且过点$(a,1)$，$(\frac{1}{a},-1)$，函数图象只在$y$轴右侧

答案： 1.BD

2. (链接北师必修一P116A组T3，改编)函数$y=\frac{\lg(x + 2)}{x - 1}$的定义域是(D)

A.$(-2,+\infty)$
B.$[-2,+\infty)$
C.$[-2,1)\cup(1,+\infty)$
D.$(-2,1)\cup(1,+\infty)$

答案： 2.D 由题意$\begin{cases}x + 2＞0,\\x - 1\neq0.\end{cases}$可得$x\in(-2,1)\cup(1,+\infty)$.故选D.

3. (链接北师必修一P114例7，改编)设$a=\log_{0.2}6$，$b=\log_{0.3}6$，$c=\log_{0.4}6$，则(A)

A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$b＞c＞a$
D.$c＞b＞a$

答案：
3.A 法一：如图，作出函数$y_{1}=\log_{0.2}x,y_{2}=\log_{0.3}x,y_{3}=\log_{0.4}x$的图象，由图可知，当$x = 6$时，$\log_{0.2}6＞\log_{0.3}6＞\log_{0.4}6$，即$a＞b＞c$.故选A.

法二：易知$0＞\log_{6}0.4＞\log_{6}0.3＞\log_{6}0.2$，所以$\frac{1}{\log_{6}0.4}＜\frac{1}{\log_{6}0.3}＜\frac{1}{\log_{6}0.2}$，即$\log_{0.4}6＜\log_{0.3}6＜\log_{0.2}6$，即$a＞b＞c$.故选A.

4. 若函数$f(x)=\log_{a}(x - 3)+2$($a＞0$，且$a\neq1$)的图象恒过定点$P$，则$P$的坐标是$(4,2)$.

答案： 4.$(4,2)$ 令$x - 3 = 1$，可得$x = 4$，$f(4)=\log_{a}1 + 2 = 2$，因此定点$P$的坐标为$(4,2)$.

1. (2025·陕西宝鸡期中)函数$f(x)=\log_{2}(2x)$的大致图象为(C)


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答案： 1.C 令$f(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，由题意，$f(x)=\log_{2}(2x)=\log_{2}x + 1$，且$x＞0$，所以$f(x)$的图象由$y=\log_{2}x$的图象向上平移一个单位长度即可.故选C.

2. (2025·江苏南京检测)当$0＜x\leqslant\frac{1}{2}$时，$4^{x}＜\log_{a}x$，则实数$a$的取值范围是(B)

A.$(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$
B.$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
C.$(1,\sqrt{2})$
D.$(\sqrt{2},2)$

答案：
2.B 易知$0＜a＜1$，函数$y = 4^{x}$与$y=\log_{a}x$的大致图象如图所示，则由题意知，当$0＜x\leq\frac{1}{2}$时，$4^{x}＜\log_{a}x$.只需满足$\log_{a}\frac{1}{2}＞4^{\frac{1}{2}}$，解得$a＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$，即实数$a$的取值范围是$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$.故选B.