《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 在空间四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=(-3,5,2)$，$\overrightarrow{CD}=(-7,-1,-4)$，点$E$，$F$分别为线段$BC$，$AD$的中点，则$\overrightarrow{EF}$的坐标为(B)

A.$(2,3,3)$
B.$(-2,-3,-3)$
C.$(5,-2,1)$
D.$(-5,2,-1)$

答案： 1.B 因为点$E,F$分别为线段$BC,AD$的中点，设$O$为坐标原点，所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}),\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.所以$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})=\frac{1}{2}×[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]=\frac{1}{2}×(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3)$.故选B.

2. (多选题)如图所示，$M$是四面体$OABC$的棱$BC$的中点，点$N$在线段$OM$上，点$P$在线段$AN$上，且$AP = 3PN$，$\overrightarrow{ON}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OM}$，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，则下列等式成立的是(BD)


A.$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{c}$
B.$\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\boldsymbol{b}+\dfrac{1}{3}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}$
C.$\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{4}\boldsymbol{b}-\dfrac{1}{4}\boldsymbol{c}-\dfrac{3}{4}\boldsymbol{a}$
D.$\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{4}\boldsymbol{a}+\dfrac{1}{4}\boldsymbol{b}+\dfrac{1}{4}\boldsymbol{c}$

答案： 2.BD 对于A，利用向量的平行四边形法则，$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，故A错误；对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC})-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}$，故B正确；对于C，因为点$P$在线段$AN$上，且$AP = 3PN$，所以$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}(\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}-\frac{3}{4}\boldsymbol{a}$，故C错误；对于D，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}-\frac{3}{4}\boldsymbol{a}=\frac{1}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$，故D正确.故选BD.

3. (多选题)下列说法中正确的是(CD)

A.$\vert \boldsymbol{a}\vert -\vert \boldsymbol{b}\vert =\vert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert$是$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共线的充要条件
B.若$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$共线，则$AB// CD$
C.$A$，$B$，$C$三点不共线，对空间任意一点$O$，若$\overrightarrow{OP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，则$P$，$A$，$B$，$C$四点共面
D.若$P$，$A$，$B$，$C$为空间四点，且有$\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{PB}+\mu \overrightarrow{PC}$($\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$不共线)，则$\lambda +\mu = 1$是$A$，$B$，$C$三点共线的充要条件

答案： 3.CD 由$|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，可知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的方向相反，此时向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共线，反之，当向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$同向时，$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共线，但不能得到$|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$.故A不正确；若$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$共线，则$AB// CD$或$A,B,C,D$四点共线，故B不正确；由$A,B,C$三点不共线，对空间任意一点$O$，若$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，因为$\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$，可得$P,A,B,C$四点共面，故C正确；若$P,A,B,C$为空间四点，且有$\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB}+\mu\overrightarrow{PC}(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$不共线$)$，当$\lambda+\mu=1$时，即$\mu=1-\lambda$，可得$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}=\lambda(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC})$，即$\overrightarrow{CA}=\lambda\overrightarrow{CB}$，所以$A,B,C$三点共线，反之也成立，即$\lambda+\mu=1$是$A,B,C$三点共线的充要条件，故D正确.故选CD

4. 若$A(-1,2,3)$，$B(2,1,4)$，$C(m,n,1)$三点共线，则$m + n=$-3.

答案： 4.-3 因为$\overrightarrow{AB}=(3,-1,1),\overrightarrow{AC}=(m + 1,n - 2,-2)$，且$A,B,C$三点共线，所以存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$，即$(m + 1,n - 2,-2)=\lambda(3,-1,1)=(3\lambda,-\lambda,\lambda)$，所以$\begin{cases}m + 1 = 3\lambda\\n - 2 = -\lambda\\-2 = \lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda = -2\\m = -7\\n = 4\end{cases}$，所以$m + n = -3$.

(一题多变)如图，已知空间四边形$ABCD$的每条边和对角线长都等于$a$，点$E$，$F$分别为$BC$，$AD$的中点.

答案： 答案略

(1) 求$\overrightarrow{AE}· \overrightarrow{AF}$的值；

答案： 解：
(1)设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$.由题可知，$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$两两夹角为$60^{\circ}$.
因为$E$为$BC$的中点，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$.
又$F$为$AD$的中点，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·\frac{1}{2}\boldsymbol{c}=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c})=\frac{1}{4}(a^{2}\cos60^{\circ}+a^{2}\cos60^{\circ})=\frac{a^{2}}{4}$.

(2) 求$\vert \overrightarrow{EF}\vert$.

答案：
(2)因为$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\boldsymbol{c}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，
所以$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{\overrightarrow{EF}^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{3a^{2}-2c·\boldsymbol{a}-2c·\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}=\frac{1}{2}\sqrt{3a^{2}-a^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，所以$|\overrightarrow{EF}|=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.

[变式探究]
(变设问)在本例条件下，求$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{CF}$夹角的余弦值.

答案： 解：因为$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}$，
所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\frac{1}{2}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}^{2})=-\frac{a^{2}}{2}$.
又$|\overrightarrow{AE}|=|\overrightarrow{CF}|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，所以$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{CF}$的夹角$\theta$满足$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}=\frac{-\frac{a^{2}}{2}}{\frac{3}{4}a^{2}}=-\frac{2}{3}$.